Un teorema que afirma que toda curva simple cerrada (una inmersión continua inyectiva del círculo S^1) en el plano separa el plano en exactamente dos componentes conectadas, una acotada (el interior) y otra no acotada (el exterior), teniendo la curva como frontera común.

Principio

Una curva continua simple y cerrada en el plano es un círculo topológico cuyo complemento posee precisamente dos componentes; la curva constituye la frontera de cada componente, de modo que 'interior' y 'exterior' son regiones topológicas bien definidas.

Demostración

Para un lazo poligonal simple en R^2 el teorema es evidente mediante argumentos de grafos planos: aristas y caras producen una cara interior y una cara exterior no acotada. Para una curva simple continua salvaje (posible fractal) el teorema sigue garantizando exactamente dos componentes del complemento, aunque la intuición geométrica sobre suavidad falle.

Aplicación incorrecta

Aplicar la afirmación a curvas no simples (con autointersecciones) o a inmersiones de esferas de dimensión superior sin invocar el teorema de separación de Jordan–Brouwer; tales usos llevan a conclusiones incorrectas sobre el número o la naturaleza de las componentes del complemento.

Consecuencia

Proporciona una noción topológica rigurosa de interior y exterior para lazos en el plano, apoya resultados sobre el índice de enrollamiento (winding number), el conteo de caras en grafos planos y es base para teoremas posteriores como Jordan–Schoenflies que refinan la estructura del interior bajo hipótesis adicionales.

Inversión

La recíproca es falsa en general: un subconjunto del plano cuyo complemento tenga exactamente dos componentes no tiene por qué ser una curva simple cerrada; el teorema es existencial para inmersiones de S^1, no una caracterización de todos los conjuntos separantes.

Límite

Limitado a curvas simples cerradas en el plano (equivalente a inmersiones de S^1 en S^2); las generalizaciones a dimensiones superiores requieren el teorema de separación Jordan–Brouwer, y la afirmación excluye lazos con autointersecciones y subconjuntos no homeomorfos al círculo.

Tensión semántica

A menudo se confunde con el teorema de Jordan–Schoenflies, que añade que la componente acotada es homeomorfa a un disco bajo hipótesis de suavidad o piecewise-linear; la tensión es entre la mera separación (Jordan) y la equivalencia topológica del interior (Schoenflies).

Síntesis

El Teorema de la Curva de Jordan establece que cualquier curva simple cerrada en el plano induce una dicotomía topológica nítida en dos regiones que comparten la curva como frontera, formalizando la distinción intuitiva entre interior y exterior incluso para bucles continuos muy irregulares.