Un théorème de dualité qui relie les groupes d'homologie réduite d'un sous-ensemble compact A de la sphère S^n aux groupes de cohomologie réduite de son complément S^n \ A, typiquement formulé par un isomorphisme H~_i(A) ≅ H~^{n-i-1}(S^n \ A).

Principe

L'information homologique sur un sous-ensemble compact d'une sphère est encodée de façon duale dans la cohomologie de son complément ; l'omission de A de la sphère échange les dimensions homologiques selon une règle déterminée par la dimension ambiante.

Démonstration

Si A est une réunion finie de points dans S^2, alors l'homologie réduite H~_0(A) (qui compte les composantes de A moins une) correspond via la dualité d'Alexander à H~^{1}(S^2 \ A), de sorte que le complément possède de la cohomologie en degré un correspondant aux cycles d'enlacement autour de ces points ; ceci permet des calculs concrets pour les compléments d'ensembles de points ou de nœuds.

Mauvaise application

Utiliser la dualité d'Alexander pour des sous-ensembles qui ne sont pas compacts dans la sphère, ou oublier d'utiliser l'(co)homologie réduite ; appliquer la formule naïvement dans l'espace euclidien sans prendre la compactification par un point conduit à des décalages de degré incorrects.

Conséquence

Fournit un outil de calcul efficace : on peut calculer des invariants des compléments (importants en théorie des nœuds et topologie des compléments) à partir des invariants du sous-ensemble lui-même, et réciproquement, imposant des contraintes sur les plongements et les phénomènes d'enlacement.

Inversion

Dans le sens inverse, des classes de cohomologie du complément détectent des classes d'homologie du sous-ensemble ; la dualité d'Alexander permet de déduire des propriétés de A à partir de S^n \ A, transformant des calculs sur le complément en informations directes sur A.

Limite

Valable pour des sous-ensembles compacts de S^n (ou des sous-ensembles localement compacts de R^n après compactification par un point) et utilise l'(co)homologie réduite ; elle ne s'applique pas sans modifications à des sous-ensembles non compacts arbitraires ni à des variétés ambiantes non sphériques sans hypothèses supplémentaires (les cadres de Lefschetz ou Poincaré peuvent être requis).

Tension sémantique

Souvent comparée à la dualité de Poincaré et de Lefschetz ; la tension vient du fait qu'Alexander porte sur le couple sous-ensemble/complément dans une sphère, tandis que Poincaré/Lefschetz concernent l'homologie/cohomologie d'une variété globale, de sorte que les théorèmes sont apparentés mais s'appliquent dans des contextes différents avec des hypothèses différentes.

Synthèse

La Dualité d'Alexander affirme que les données homologiques d'un sous-ensemble compact d'une sphère et les données cohomologiques de son complément sont duales : le calcul de l'un fournit l'autre par un décalage de degré prévisible lié à la dimension de la sphère ambiante, principe employé dans les problèmes de complément et de plongement.