Un teorema de dualidad que relaciona los grupos de homología reducida de un subconjunto compacto A de la esfera S^n con los grupos de cohomología reducida de su complemento S^n \ A, típicamente expresado por un isomorfismo H~_i(A) ≅ H~^{n-i-1}(S^n \ A).

Principio

La información homologíca sobre un subconjunto compacto en una esfera está codificada de forma dual en la cohomología de su complemento; quitar A de la esfera intercambia las dimensiones homológicas conforme a la dimensión de la esfera.

Demostración

Si A es una unión finita de puntos en S^2, la homología reducida H~_0(A) (que cuenta las componentes de A menos una) corresponde por dualidad de Alexander a H~^{1}(S^2 \ A), de modo que el complemento tiene cohomología en grado uno asociada a ciclos que enlazan esos puntos; esto permite cálculos concretos para complementos de conjuntos de puntos o nudos.

Aplicación incorrecta

Usar la dualidad de Alexander para subconjuntos que no son compactos en la esfera, o olvidar usar (co)homología reducida; aplicar la fórmula ingenuamente en el espacio euclidiano sin pasar por la compactificación por un punto puede producir desplazamientos de grado incorrectos.

Consecuencia

Proporciona una herramienta computacional eficaz: se pueden calcular invariantes de complementos (importantes en teoría de nudos y topología de complementos) a partir de invariantes del subconjunto, y viceversa, imponiendo restricciones sobre posibles incrustaciones y fenómenos de enlace.

Inversión

En sentido inverso, las clases de cohomología del complemento detectan clases de homología del subconjunto; la dualidad de Alexander permite deducir propiedades de A a partir de S^n \ A, convirtiendo cálculos sobre el complemento en información directa sobre A.

Límite

Se cumple para subconjuntos compactos de S^n (o subconjuntos localmente compactos de R^n tras la compactificación por un punto) y hace uso de (co)homología reducida; no se aplica sin modificación a subconjuntos no compactos arbitrarios ni a variedades ambiente no esféricas sin hipótesis adicionales (pueden requerirse marcos de Lefschetz o Poincaré).

Tensión semántica

A menudo se compara con las dualidades de Poincaré y Lefschetz; la tensión surge porque Alexander trata el par subconjunto/complemento en una esfera, mientras que Poincaré/Lefschetz tratan la (co)homología de una variedad completa, por lo que los teoremas están relacionados pero se aplican en contextos distintos con hipótesis distintas.

Síntesis

La Dualidad de Alexander afirma, en síntesis, que los datos homológicos de un subconjunto compacto de una esfera y los datos cohomológicos de su complemento son duales: calcular uno proporciona el otro mediante un desplazamiento de grado previsible ligado a la dimensión de la esfera ambiente, principio usado ampliamente en problemas de complementos e incrustaciones.