Un lemme affirmant que pour tout recouvrement ouvert d'un espace métrique compact il existe un réel positif (un nombre de Lebesgue) tel que toute partie de l'espace de diamètre strictement inférieur à ce nombre soit contenue dans un élément du recouvrement.

Principe

La compacité dans les espaces métriques implique une échelle uniforme sous laquelle le recouvrement est localement trivial : la compacité garantit une borne inférieure positive sur la taille des sous-ensembles nécessaires pour assurer l'inclusion dans un seul élément du recouvrement.

Démonstration

Pour l'intervalle unité [0,1] recouvert par un nombre fini d'intervalles ouverts, on peut prendre le minimum des demi-longueurs des intervalles d'un sous-recouvrement fini ; ainsi un δ positif égal ou inférieur à ce minimum garantit que toute partie de diamètre < δ est incluse dans l'un des intervalles du recouvrement.

Mauvaise application

Supposer l'existence d'un nombre de Lebesgue pour des recouvrements ouverts d'espaces métriques non compacts (par exemple le recouvrement de (0,1) par les intervalles (1/n,1) n'a pas de nombre de Lebesgue positif) ou pour des espaces topologiques non métrisables ; cela produit des affirmations d'uniformité fausses.

Conséquence

Permet un contrôle local uniforme des recouvrements : sert dans les constructions de partitions de l'unité subordonnées à un recouvrement, garantit l'existence de maillages suffisamment fins pour les triangulations, et est un outil standard pour relier données locales et globales sur des espaces métriques compacts.

Inversion

Si aucun nombre de Lebesgue positif n'existe pour un recouvrement, alors l'espace n'est pas compact (au sens métrique) relativement à ce recouvrement ; inversement, l'existence d'un nombre de Lebesgue positif pour tout recouvrement ouvert caractérise la compacité dans les espaces métriques.

Limite

S'applique aux espaces métriques compacts et à leurs recouvrements ouverts ; il ne vaut pas en général pour des espaces métriques non compacts ni pour des recouvrements dans des topologies non métrisables sans hypothèses supplémentaires (la localité compacte ou la paracompacité ne suffisent pas seules à garantir un nombre uniforme).

Tension sémantique

On le confond parfois avec la notion de maille (mesh) ou avec la dimension de recouvrement de Lebesgue ; le nombre de Lebesgue est une échelle quantitative locale dépendant d'un recouvrement donné, tandis que la dimension ou le mesh sont des invariants globaux ou combinatoires des recouvrements.

Synthèse

Le Lemme du Nombre de Lebesgue affirme que la compacité métrique assure l'existence d'une échelle positive uniforme (le nombre de Lebesgue) en dessous de laquelle tout sous-ensemble de petit diamètre est inclus dans un seul élément d'un recouvrement donné, reliant la taille métrique locale à la structure globale du recouvrement.