Un lema que establece que para todo recubrimiento abierto de un espacio métrico compacto existe un número real positivo (número de Lebesgue) tal que todo subconjunto del espacio con diámetro menor que ese número está contenido en algún miembro del recubrimiento.

Principio

La compacidad en espacios métricos implica una escala uniforme bajo la cual el recubrimiento es localmente trivial: la compacidad garantiza una cota inferior positiva sobre el tamaño de los subconjuntos necesarios para asegurar pertenencia a un único elemento del recubrimiento.

Demostración

Para el intervalo unidad [0,1] con un recubrimiento abierto por un número finito de intervalos, se toma el mínimo de las longitudes relevantes de un subrecubrimiento finito; ese δ positivo asegura que cualquier subconjunto de diámetro < δ esté incluido en uno de los intervalos del recubrimiento.

Aplicación incorrecta

Suponer que existe un número de Lebesgue para recubrimientos abiertos de espacios métricos no compactos (por ejemplo, el recubrimiento de (0,1) por los intervalos (1/n,1) no tiene número de Lebesgue positivo) o para espacios topológicos no metrizables; ello conduce a afirmaciones de uniformidad falsas.

Consecuencia

Permite control local uniforme sobre recubrimientos: sustenta construcciones como particiones de la unidad subordinadas a un recubrimiento, garantiza la existencia de mallas suficientemente finas para triangulaciones y es una herramienta estándar para pasar de datos locales a globales en espacios métricos compactos.

Inversión

Si no existe un número de Lebesgue positivo para un recubrimiento, entonces el espacio no es compacto (en el sentido métrico) respecto a ese recubrimiento; recíprocamente, la existencia de un número de Lebesgue positivo para todo recubrimiento abierto caracteriza la compacidad en espacios métricos.

Límite

Se aplica a espacios métricos compactos y a sus recubrimientos abiertos; no vale en general para espacios métricos no compactos ni para recubrimientos en topologías no metrizables sin hipótesis adicionales (la local compacticidad o la paracompacticidad no bastan por sí solas).

Tensión semántica

A veces se confunde con la noción de malla (mesh) o con la dimensión de recubrimiento de Lebesgue; el número de Lebesgue es una escala cuantitativa local dependiente de un recubrimiento dado, mientras que la dimensión o el mesh son invariantes globales o combinatorios de recubrimientos.

Síntesis

El Lema del Número de Lebesgue afirma que la compacidad métrica asegura la existencia de una escala positiva uniforme (el número de Lebesgue) por debajo de la cual cualquier subconjunto de pequeño diámetro está contenido en un único elemento de un recubrimiento dado, conectando la escala métrica local con la estructura global del recubrimiento.