Dans un espace topologique normal, deux fermés disjoints peuvent être séparés par une fonction continue à valeurs réelles : il existe f : X → [0,1] continue telle que f = 0 sur l'un des fermés et f = 1 sur l'autre.

Principe

La normalité fournit des voisinages ouverts suffisants pour construire une fonction continue qui interpole des valeurs constantes prescrites sur deux fermés disjoints ; l'existence de telles fonctions organise les propriétés de séparation par des applications continues.

Démonstration

Dans R muni de la topologie usuelle (espace normal), pour A = [−1,0] et B = [1,2] on construit une fonction continue par morceaux f : R → [0,1] qui vaut 0 sur A, 1 sur B et qui fait une transition linéaire sur [0,1], illustrant le lemme.

Mauvaise application

Utiliser l'énoncé dans un espace non normal et s'attendre à obtenir un séparateur continu global ; ou tenter de séparer des ensembles fermés qui se coupent.

Conséquence

Fournit un ensemble d'outils de fonctions continues séparatrices, permettant des constructions comme les partitions de l'unité, facilitant les théorèmes d'extension et les plongements dans des produits d'intervalles réels.

Inversion

En sens inverse : si toute paire de fermés disjoints peut être séparée par une fonction continue à valeurs dans [0,1], alors l'espace satisfait les axiomes de séparation correspondant à la normalité (équivalences sous les hypothèses usuelles T1).

Limite

Nécessite que l'espace soit normal et que les ensembles soient fermés et disjoints ; il concerne des applications dans [0,1] (ou R) et ne s'applique pas aux ensembles non fermés, intersectants ou aux espaces dépourvus de normalité.

Tension sémantique

Résultats proches incluent le théorème de Tietze : Urysohn produit une fonction séparatrice pour deux fermés, tandis que Tietze prolonge une fonction continue donnée sur un fermé. La confusion survient si l'on confond ces rôles.

Synthèse

Le Lemme d'Urysohn affirme que la normalité autorise la construction de fonctions continues à valeurs dans [0,1] prenant des valeurs constantes prescrites sur deux fermés disjoints, servant d'outil fondamental pour la séparation fonctionnelle et la construction d'objets continus.