In einem normalen topologischen Raum können zwei disjunkte abgeschlossene Mengen durch eine stetige, reellwertige Funktion getrennt werden: Es existiert f : X → [0,1] stetig mit f = 0 auf der einen abgeschlossenen Menge und f = 1 auf der anderen.

Prinzip

Normalität liefert genügend offene Umgebungen, um eine stetige Funktion zu konstruieren, die auf zwei disjunkten abgeschlossenen Mengen vorgegebene konstante Werte interpoliert; diese Existenz ordnet Trennungseigenschaften durch stetige Abbildungen.

Demonstration

Im R mit der üblichen Topologie (normaler Raum) kann man für A = [−1,0] und B = [1,2] eine stückweise lineare Funktion f : R → [0,1] definieren, die auf A den Wert 0 und auf B den Wert 1 hat und linear auf [0,1] übergeht.

Fehlanwendung

Das Lemma in einem nicht-normalen Raum anwenden und erwarten, einen globalen stetigen Trenner zu erhalten; oder versuchen, nicht disjunkte abgeschlossene Mengen zu trennen.

Konsequenz

Ermöglicht die Konstruktion von stetigen Trennfunktionen, was Partitionen der Eins, Schritte zu Extensionssätzen und Einbettungen in Würfel reeller Funktionen erlaubt.

Umkehrung

Umgekehrt: Wenn jede Paar disjunkter abgeschlossener Mengen durch eine stetige [0,1]-wertige Funktion getrennt werden kann, dann erfüllt der Raum die für Normalität geforderten Trennungseigenschaften (Unter T1-Hypothesen bestehen Äquivalenzen).

Abgrenzung

Setzt Normalität des Raums und disjunkte abgeschlossene Mengen voraus; bezieht sich auf Abbildungen in [0,1] (oder R) und gilt nicht für nichtabgeschlossene oder sich schneidende Mengen oder für Räume ohne Normalität.

Semantische Spannung

Nahe verwandte Aussagen sind der Tietze-Erweiterungssatz: Urysohn liefert eine trennende Funktion für zwei abgeschlossene Mengen, während Tietze eine gegebene Funktion auf einem abgeschlossenen Teil auf ganz X fortsetzt; die Rollen dürfen nicht verwechselt werden.

Synthese

Urysohns Lemma besagt, dass Normalität die Konstruktion stetiger [0,1]-wertiger Funktionen erlaubt, die auf zwei disjunkten abgeschlossenen Mengen vorgegebene konstante Werte annehmen, und bildet ein fundamentales Instrument zur funktionalen Trennung und Konstruktion.