Procédé topologique consistant à remplacer un recouvrement ouvert d'un espace par un autre recouvrement ouvert dont chaque ensemble est contenu dans un ensemble du recouvrement initial ; utilisé pour obtenir des recouvrements ayant des propriétés supplémentaires (par exemple localement finis, subordonnés à une partition de l'unité).

Principe

Soit U un recouvrement ouvert d'un espace topologique X. Un affinement V est un recouvrement ouvert tel que pour tout V∈V il existe U∈U avec V ⊆ U ; les affinement permettent de contrôler le comportement local sans agrandir les éléments originaux.

Démonstration

Exemple : pour X = [0,1] et le recouvrement U = {( -0,1,0,6),(0,4,1,1)}, on peut choisir un affinement V constitué de petits intervalles ouverts autour de chaque point, par exemple V = {( -0,01,0,5),(0,5,0,99)} ; dans les variétés, on affine souvent un recouvrement quelconque en un recouvrement localement fini subordonné à une partition de l'unité.

Mauvaise application

Prendre n'importe quelle sous-collection d'un recouvrement comme un affinement ; une sous-collection est seulement un sous-recouvrement si elle couvre encore X, et elle ne satisfait pas forcément la condition de contenu qui définit un affinement.

Conséquence

Un affinement correct permet d'obtenir des recouvrements avec les propriétés désirées (localement finis, nombre de Lebesgue, nerfs contrôlés), ce qui rend possibles des constructions comme les partitions de l'unité et des approximations en homotopie.

Inversion

Coarsening (coarsening) : remplacer un recouvrement par un recouvrement plus grossier dont les ensembles sont des unions d'ensembles initiaux ; un grossissement perd le contrôle local fin tout en simplifiant la combinatoire globale.

Limite

S'applique aux recouvrements d'espaces topologiques et à des types particuliers de recouvrements (ouverts, fermés, mesurables) ; ne s'applique pas si les éléments ne sont pas des parties de X ou si la condition d'inclusion ne peut être satisfaite (par exemple affiner par des ensembles dans un autre espace ambiant).

Tension sémantique

Souvent confondu avec sous-recouvrement : un sous-recouvrement est une sous-collection qui couvre encore X, alors qu'un affinement n'est pas nécessairement une sous-collection et doit respecter la relation d'inclusion ; il est aussi en tension conceptuelle avec l'idée de recouvrement plus grossier.

Synthèse

Un Affinement d'un Recouvrement Ouvert est le remplacement contrôlé d'un recouvrement ouvert par un recouvrement plus fin dont les éléments sont contenus dans des éléments originaux, procédé utilisé pour obtenir une meilleure régularité locale tout en conservant la couverture globale.