Proceso en topología que sustituye una cobertura abierta de un espacio por otra cobertura abierta en la que cada conjunto de la nueva cobertura está contenido en algún conjunto de la cobertura original; se usa para obtener coberturas con propiedades adicionales (por ejemplo, localmente finitas, subordinadas a una partición de la unidad).

Principio

Dada una cobertura abierta U de un espacio topológico X, un refinamiento V es una cobertura abierta tal que para todo V en V existe U en U con V ⊆ U; los refinamientos permiten controlar el comportamiento local sin ampliar los elementos originales.

Demostración

Ejemplo: para X = [0,1] y la cobertura U = {(-0.1,0.6),(0.4,1.1)} se puede elegir un refinamiento V formado por pequeños intervalos abiertos alrededor de cada punto, por ejemplo V = {(-0.01,0.5),(0.5,0.99)} donde cada V está contenido en algún U. En variedades se refinan coberturas arbitrarias a coberturas localmente finitas subordinadas a una partición de la unidad.

Aplicación incorrecta

Tratar cualquier subcolección de una cobertura como un refinamiento; una subcolección es únicamente una subcobertura si sigue cubriendo X y no tiene por qué satisfacer la relación de contención que exige un refinamiento.

Consecuencia

Un refinamiento correcto produce coberturas con las características deseadas (localmente finitas, número de Lebesgue, nervios controlados), lo que permite construir particiones de la unidad y aproximaciones homotópicas.

Inversión

Enmarañamiento contrario: coarsening (agrupamiento): sustituir la cobertura por una más gruesa cuyas partes son uniones de las originales; tal coarsening simplifica la combinatoria global pero pierde control fino local.

Límite

Se aplica a coberturas de espacios topológicos y a tipos concretos de coberturas (abiertas, cerradas, medibles); no es aplicable cuando los elementos no son subconjuntos de X o la condición de contención no puede cumplirse.

Tensión semántica

A menudo se confunde con subcobertura: una subcobertura es una subcolección que aún cubre X, mientras que un refinamiento no tiene por qué ser subcolección y debe respetar la relación de inclusión; compite conceptualmente con la idea de cobertura más gruesa.

Síntesis

Un Refinamiento de Recubrimiento Abierto es la sustitución controlada de una cobertura abierta por otra más fina cuyos conjuntos están incluidos en conjuntos originales, procedimiento usado para asegurar regularidad local manteniendo la cobertura global.