Le cône de l'application Cf pour f : X→Y est le quotient du cylindre de mappage Mf obtenu en écrasant X×{0} en un point ; autrement Cf = Mf/(X×{0}∼*). Le cône de mappage modélise la cofibre d'homotopie de f et mesure l'échec de f à être surjectif en homotopie.

Principe

On écrase la tranche inférieure du cylindre de mappage pour créer un cône sur X attaché à Y via f ; le résultat est un espace dont le type d'homotopie encode l'information de cofibre et qui donne des suites exactes longues en homotopie liant X, Y et Cf.

Démonstration

Pour l'inclusion i : A→X, le cône de mappage Ci est homéomorphe à X avec A écrasé en un cône, et l'homologie réduite de Ci calcule l'homologie relative H_*(X,A). Pour une application nullhomotope f, Cf est équivalent d'homotopie au wedge Y ∨ ΣX.

Mauvaise application

Former le cône de mappage sans contrôler les points de base ou en écrasant la mauvaise sous-variété peut détruire l'information de cofibre voulue ; confondre le cône de mappage avec le cylindre de mappage ou des quotients naïfs conduit à des suites exactes erronées.

Conséquence

Le cône de mappage fournit la suite de cofibre d'homotopie X → Y → Cf → ΣX et produit donc des suites exactes longues en (co)homologie et homotopie ; il est fondamental pour définir des cofibres, attacher des cellules et calculer des invariants relatifs.

Inversion

L'inversion de la construction correspond à prendre la fibre d'homotopie ou à désuspendre dans des contextes appropriés ; la construction du cône n'est pas en général inversible à la lettre, et récupérer f à partir de Cf exige des données supplémentaires ou une information homotopique.

Limite

L'utilisation correcte des cônes de mappage suppose de travailler avec des applications pointées ou dans des catégories où les quotients homotopiques se comportent bien (complexes CW, catégories de modèles) ; des quotients ponctuels naïfs dans des catégories pathologiques peuvent échouer à représenter les cofibres homotopiques.

Tension sémantique

Le cône de mappage est en tension conceptuelle avec la fibre de mappage et avec des quotients naïfs : le cône encode l'information de cofibre (analogue au conoyau en homotopie), tandis que la fibre encode l'information de noyau ; les deux se relient par la suspension et des suites exactes longues.

Synthèse

Le cône de mappage de f est le quotient du cylindre de mappage qui écrase X×{0} en un point, produisant un espace codant la cofibre d'homotopie de f et s'insérant dans la suite fondamentale X→Y→Cf→ΣX, centrale en homotopie relative et en calculs homologiques.