El cono de mapeo Cf de una aplicación f: X→Y es el cociente del cilindro de mapeo Mf obtenido al colapsar X×{0} a un punto; equivalentemente Cf = Mf/(X×{0}∼*). El cono de mapeo modela la cofibra homotópica de f y mide el fallo de f a ser sobreyectiva a nivel de homotopía.

Principio

Se colapsa la rebanada inferior del cilindro de mapeo para crear un cono sobre X adherido a Y por f; el espacio resultante codifica la información de cofibra y produce sucesiones exactas largas en homotopía que relacionan X, Y y Cf.

Demostración

Para la inclusión i: A→X, el cono de mapeo Ci es homeomorfo a X con A colapsado a un cono, y la homología reducida de Ci calcula la homología relativa H_*(X,A). Para una aplicación nullhomotópica f, Cf es equivalente por homotopía al wedge Y ∨ ΣX.

Aplicación incorrecta

Formar el cono de mapeo sin controlar puntos base o colapsar la subvariedad equivocada puede destruir la información de cofibra pretendida; confundir el cono de mapeo con el cilindro de mapeo o con cocientes ingenuos conduce a sucesiones exactas erróneas.

Consecuencia

El cono de mapeo produce la sucesión de cofibra homotópica X → Y → Cf → ΣX y, por tanto, genera sucesiones exactas largas en (co)homología y homotopía; es fundamental para definir cofibra, adjuntar celdas y calcular invariantes relativos.

Inversión

Invertir la construcción corresponde a tomar la fibra de mapeo o a desuspender en contextos adecuados; la construcción de cono no es en general invertible estrictamente, y recuperar f a partir de Cf requiere estructura extra o información homotópica.

Límite

El uso correcto de conos de mapeo presupone trabajar con aplicaciones apuntadas o en categorías donde los cocientes homotópicos se comportan bien (complejos CW, categorías de modelos); los cocientes puntuales ingenuos en categorías patológicas pueden fallar al representar cofibra homotópica.

Tensión semántica

El cono de mapeo compite conceptualmente con la fibra de mapeo y con cocientes ingenuos: el cono codifica información de cofibra (análoga al conucleo en homotopía), mientras la fibra codifica información de núcleo; ambos se relacionan mediante la suspensión y sucesiones exactas largas.

Síntesis

El cono de mapeo de f es el cociente del cilindro de mapeo al colapsar X×{0} a un punto, produciendo un espacio que codifica la cofibra homotópica de f y que encaja en la secuencia fundamental X→Y→Cf→ΣX, central en homotopía relativa y cálculos homológicos.