La suspension ΣX d'un espace topologique X est le quotient de X×[−1,1] obtenu en écrasant X×{−1} en un point (pôle sud) et X×{1} en un point (pôle nord), ce qui donne un nouvel espace dont la dimension homotopique est augmentée d'une unité.

Principe

On effondre deux tranches frontières d'un cylindre sur X en points de sorte que chaque point de X devienne une méridienne entre deux pôles coniques ; la construction (suspension réduite) définit un foncteur qui décale les groupes d'homotopie et est adjoint au foncteur des boucles.

Démonstration

Pour la sphère S^n, la suspension ΣS^n est homéomorphe à S^{n+1}. Pour un espace discret à deux points {a,b}, la suspension est homéomorphe au cercle S^1.

Mauvaise application

Confondre suspension réduite et non réduite en l'absence d'un point de base choisi, ou écraser des sous-espaces incorrects, conduit à des types d'homotopie différents ; écraser l'intérieur au lieu des tranches terminales produit un quotient non équivalent.

Conséquence

Bien appliquée, la suspension définit le foncteur de suspension réduite qui, à homotopie près, satisfait ΩΣX ≃ X pour des espaces bien pointés et déplace les groupes d'homotopie d'un degré : π_{k+1}(ΣX) ≅ π_k(X) dans la plage stable.

Inversion

L'inverse formel est la désuspension, réalisée par l'espace des boucles ΩY ; toutes les espaces ne sont pas des suspensions, donc la désuspension n'existe qu'en partie, souvent seulement à homotopie près ou après stabilisation.

Limite

Les énoncés sur l'adjonction et le décalage des groupes exigent des espaces pointés et bien pointés ou des complexes CW ; la suspension non réduite (écrasant les deux bouts sans point de base) a des propriétés catégoriques et homotopiques différentes.

Tension sémantique

On confond souvent la suspension avec le cône ou la réunion join : le cône écrase un seul bout et possède un apex contractile, tandis que la suspension écrase les deux bouts et a un comportement d'homotopie distinct.

Synthèse

La suspension est le quotient de X×[−1,1] qui écrase chaque extrémité en un point, produisant un espace d'une dimension supérieure qui décale systématiquement l'information d'homotopie et joue le rôle de foncteur de suspension réduite en théorie de l'homotopie pointée.