La suspensión ΣX de un espacio topológico X es el cociente de X×[−1,1] obtenido al colapsar X×{−1} a un único punto (polo sur) y X×{1} a un único punto (polo norte), produciendo un nuevo espacio cuya dimensión homotópica aumenta en uno.

Principio

Se colapsan dos rebanadas frontera de un cilindro sobre X a puntos, de modo que cada punto de X se convierte en una meridiana entre dos puntos cónicos; esta construcción (suspensión reducida) define un funtor que desplaza los grupos de homotopía y es adjunto al funtor de espacios de lazos.

Demostración

Para la esfera S^n, la suspensión ΣS^n es homeomorfa a S^{n+1}. Para un espacio discreto de dos puntos {a,b}, la suspensión es homeomorfa a la circunferencia S^1.

Aplicación incorrecta

Confundir suspensión reducida y no reducida por ausencia de un punto base, o colapsar subconjuntos incorrectos, produce tipos de homotopía distintos; colapsar el interior en lugar de las rebanadas terminales da un cociente no equivalente.

Consecuencia

Aplicada correctamente, la suspensión define el funtor de suspensión reducida que, hasta homotopía, satisface ΩΣX ≃ X para espacios bien apuntados y desplaza los grupos de homotopía un grado: π_{k+1}(ΣX) ≅ π_k(X) en el rango estable.

Inversión

La inversa formal es la desuspensión, realizada mediante el espacio de lazos ΩY; no todo espacio es una suspensión, por lo que la desuspensión solo está parcialmente definida y, a menudo, solo existe hasta homotopía o tras estabilizar.

Límite

Las afirmaciones sobre adjunción y desplazamiento exigen espacios apuntados y bien apuntados o complejos CW; la suspensión no reducida (colapsar ambos extremos sin punto base) tiene propiedades categóricas y homotópicas diferentes.

Tensión semántica

La suspensión se confunde con frecuencia con el cono o con un join: el cono colapsa un solo extremo y tiene un ápice contractible, mientras la suspensión colapsa ambos extremos y presenta un comportamiento homotópico distinto.

Síntesis

La suspensión es el cociente de X×[−1,1] que colapsa cada extremo a un punto, produciendo un espacio de dimensión superior que desplaza la información homotópica y actúa como funtor de suspensión reducida en la teoría de homotopía apuntada.