La frontière ∂A d'un sous-ensemble A d'un espace topologique X est l'ensemble des points dont tout voisinage rencontre à la fois A et son complément ; équivalemment ∂A = cl(A) \ int(A).

Principe

Capture l'interface entre un ensemble et son complément ; les points de la frontière ne sont intérieurs ni à A ni à son complément et l'opérateur frontière donne des ensembles fermés et obéit à des lois prévisibles pour unions et intersections.

Démonstration

Dans R, la frontière de l'intervalle ouvert (0,1) est {0,1} ; pour A = Q ⊆ R la frontière est R car tout intervalle contient des rationnels et des irrationnels.

Mauvaise application

Confondre frontière avec adhérence ou ensemble dérivé peut induire en erreur : ∂A n'est pas nécessairement égal à A' et cl(A) peut contenir des points isolés qui ne sont pas des points de frontière s'ils sont intérieurs à cl(A).

Conséquence

Son emploi correct caractérise des propriétés de séparation, sert à définir les ensembles denses sans intérieur et maigres, et implique que ∂A est fermé et vide si et seulement si A est clopen (ouvert et fermé).

Inversion

L'inversion met l'accent sur l'intérieur : int(A) est le complément dans A des points qui appartiennent à ∂A ; la complémentation échange frontière et frontière du complément puisque ∂(X \ A) = ∂A.

Limite

Définie dans tout espace topologique ; dans des topologies triviales les frontières peuvent coïncider avec l'espace entier ou être vides ; la notion n'est pas purement métrique et requiert seulement la topologie.

Tension sémantique

Tension entre frontière, adhérence et ensemble dérivé : l'adhérence concerne tous les points limites et originels, l'ensemble dérivé les accumulations seules, tandis que la frontière enregistre l'adjacence mutuelle au complément ; ces notions coïncident parfois mais restent distinctes conceptuellement.

Synthèse

La frontière de A est l'interface fermée entre A et son complément, exprimée comme cl(A) \ int(A), et fondamentale pour exprimer phénomènes de bord, séparation et densité en topologie.