La frontera ∂A de un subconjunto A de un espacio topológico X es el conjunto de puntos cuyo todo vecindario intersecta tanto A como su complementario; equivalentemente ∂A = cl(A) \ int(A).

Principio

Captura la interfaz entre un conjunto y su complementario; los puntos de la frontera no son interiores ni a A ni a su complementario y el operador frontera produce conjuntos cerrados y tiene un comportamiento controlado ante uniones e intersecciones.

Demostración

En R, la frontera del intervalo abierto (0,1) es {0,1}; para A = Q ⊆ R la frontera es R porque todo intervalo contiene racionales e irracionales.

Aplicación incorrecta

Confundir frontera con cierre o con conjunto derivado provoca errores: ∂A no tiene por qué coincidir con A' y cl(A) puede contener puntos aislados que no son de frontera si son interiores en cl(A).

Consecuencia

Su uso correcto caracteriza propiedades de separación, permite definir conjuntos nowhere dense y meager, y muestra que ∂A es cerrado y vacío exactamente cuando A es clopen (abierto y cerrado).

Inversión

La inversión se centra en el interior: int(A) es el complemento en A de los puntos que pertenecen a ∂A; la complementación intercambia la frontera con la frontera del complementario porque ∂(X \ A) = ∂A.

Límite

Se define en cualquier espacio topológico; en topologías triviales las fronteras pueden coincidir con todo el espacio o ser vacías; la noción no es puramente métrica sino puramente topológica.

Tensión semántica

Hay tensión entre frontera, cierre y derivado: el cierre añade puntos límite y originales, el derivado captura solo acumulación, mientras que la frontera registra la adyacencia mutua al complementario; son conceptos distintos aunque a veces coincidan.

Síntesis

La frontera de A es la interfaz cerrada entre A y su complementario, expresable como cl(A) \ int(A), y fundamental para describir fenómenos de borde, separación y densidad en topología.