Une application int: P(X) → P(X) sur l'ensemble des parties d'un espace topologique X qui assigne à chaque sous-ensemble sa plus grande partie ouverte ; elle satisfait la contractivité (int(A) ⊆ A), la monotonie (A ⊆ B ⇒ int(A) ⊆ int(B)) et l'idempotence (int(int(A)) = int(A)).

Principe

Organise les parties par leur plus grande portion ouverte ; l'intérieur est l'opérateur topologique dual de l'adhérence via int(A) = X \ cl(X \ A) et ses points fixes sont exactement les ouverts.

Démonstration

Dans un espace métrique, int(A) est l'union de toutes les boules ouvertes contenues dans A ; par exemple pour A = [0,1) dans R muni de la topologie usuelle, int(A) = (0,1).

Mauvaise application

Confondre l'opérateur intérieur avec une opération préservant automatiquement les compléments ou les unions arbitraires conduit à des erreurs : int(X \ A) n'est pas en général le complément de cl(A) sans utiliser la dualité adéquate.

Conséquence

Son emploi correct fournit une structure de treillis pour les ouverts (les parties fixes de int) et permet de ramener de nombreuses affirmations topologiques à des propriétés de l'intérieur, comme la caractérisation de l'ouverteté.

Inversion

L'inverse conceptuel est l'opérateur d'adhérence cl ; l'adhérence est extensive, monotone et idempotente, et cl et int sont duaux de De Morgan par complémentation.

Limite

Défini seulement pour des parties d'un espace topologique ; la notion dépend de la topologie donnée et n'a pas de sens sans structure topologique ou sans treillis analogue sur les parties.

Tension sémantique

La tension s'établit entre l'intérieur considéré comme opérateur global et l'intérieur considéré comme propriété locale d'un point ; l'approche opérateur met en avant des axiomes algébriques, l'approche pointwise insiste sur les voisinages.

Synthèse

L'opérateur intérieur est la contraction idempotente et monotone canonique sur P(X) qui extrait pour chaque partie sa plus grande portion ouverte, duale de l'adhérence et centrale pour l'étude algébrique des ouverts.