Una función int: P(X) → P(X) sobre el conjunto de partes de un espacio topológico X que asigna a cada subconjunto su mayor subconjunto abierto; cumple contractividad (int(A) ⊆ A), monotonía (A ⊆ B ⇒ int(A) ⊆ int(B)) e idempotencia (int(int(A)) = int(A)).

Principio

Organiza los subconjuntos por su mayor porción abierta; el interior es el operador topológico dual del cierre mediante int(A) = X \ cl(X \ A) y sus puntos fijos son exactamente los conjuntos abiertos.

Demostración

En un espacio métrico, int(A) es la unión de todas las bolas abiertas contenidas en A; por ejemplo, para A = [0,1) en R con la topología usual, int(A) = (0,1).

Aplicación incorrecta

Tratar el operador interior como si preservara siempre complementos o uniones arbitrarias sin justificación conduce a errores; int(X \ A) no es en general el complementario de cl(A) salvo por la dualidad adecuada.

Consecuencia

Su uso correcto produce el retículo de los abiertos como el conjunto de fijos de int y permite reducir muchos argumentos topológicos a propiedades del interior, como la caracterización de la apertura.

Inversión

El reverso es el operador de cierre cl; el cierre es extensivo, monótono e idempotente, y cl e int son dúales de De Morgan por complemento.

Límite

Se define para subconjuntos respecto de una topología dada; la noción depende de la topología y no tiene sentido sin una estructura topológica o un retículo análogo sobre las partes.

Tensión semántica

La tensión está entre ver el interior como un operador global frente a considerarlo como una propiedad puntual (un punto interior a un conjunto); la visión operatoria enfatiza axiomas algebraicos, la puntual enfatiza vecindades locales.

Síntesis

El operador interior es la contracción canónica idempotente y monótona en P(X) que extrae para cada subconjunto su mayor porción abierta, dual del cierre y central para el estudio algebraico de los abiertos.