Un filtre U sur un ensemble X maximal pour l'inclusion : aucun filtre strictement plus grand sur X ne contient U. Équivalemment, pour tout A ⊆ X, soit A ∈ U soit X\A ∈ U, ce qui donne une décision binaire d'appartenance pour chaque sous-ensemble.

Principe

Les ultrafiltres codent une notion décisive de grandeur : la maximalité force une partition binaire de la puissance en membres et complémentaires. Cette maximalité est la clé d'applications nécessitant le choix d'une 'valeur limite' ou d'une vérité générique pour chaque propriété.

Démonstration

L'ultrafiltre principal en x ∈ X est {A ⊆ X : x ∈ A}. Les ultrafiltres non principaux (libres) sur des ensembles infinis existent sous le lemme des ultrafiltres (équivalent à une forme faible de l'axiome du choix) et servent à construire des limites selon un ultrafiltre, des ultraproductes et la compactification de Stone–Čech.

Mauvaise application

Supposer que tout ultrafiltre est principal, présumer l'existence d'ultrafiltres non principaux sans le principe de choix requis, ou traiter la convergence par ultrafiltre comme unique dans des espaces admettant plusieurs limites ultrafiltrales distinctes sont des usages incorrects courants.

Conséquence

Les ultrafiltres fournissent des évaluations booléennes de tous les sous-ensembles et produisent des outils puissants de compacité et d'extension : par exemple, tout ultrafiltre sur un ensemble d'indices donne lieu à un ultraproduit, et la compacité de certains espaces se caractérise par l'existence de points limite pour des filtres et ultrafiltres.

Inversion

Le point de vue dual échange appartenance et exclusion, conduisant à des idéaux maximaux dans l'algèbre de Boole des sous-ensembles ; les complémentaires des ultrafiltres sont des idéaux premiers. Inverser la maximalité donne des filtres propres non décisifs qui ne séparent pas systématiquement un sous-ensemble de son complément.

Limite

Les ultrafiltres sont définis sur un ensemble sous-jacent fixé et peuvent être principaux ou non principaux ; l'existence d'ultrafiltres non principaux est indépendante de ZF et s'appuie typiquement sur des principes proches du choix. Les ultrafiltres sont des objets plus puissants que les filtres ordinaires et ne sont pas requis pour de nombreux arguments topologiques élémentaires.

Tension sémantique

Le terme « ultrafiltre » (filtre maximal) peut être confondu avec l'adjectif courant 'ultra' ou avec les idéaux maximaux dans les algèbres de Boole ; la tension mathématique précise est entre ultrafiltres principaux (engendrés par un point) et non principaux (libres), qui diffèrent fortement par leur construction et leurs conséquences.

Synthèse

Un ultrafiltre est un filtre maximal et décisif : il étend la notion de grandeur à un choix binaire pour chaque sous-ensemble, produisant des évaluations à deux valeurs, permettant les ultraproductes et servant d'outil extrémal puissant en topologie, théorie des modèles et arguments de compacité.