Un filtro U sobre un conjunto X que es maximal respecto a la inclusión: no existe un filtro estrictamente mayor en X que contenga a U. Equivalente: para todo subconjunto A de X se cumple o bien A ∈ U o bien X\A ∈ U, dando una decisión binaria para cada subconjunto.

Principio

Los ultrafiltros codifican una noción decisiva de grandeza: la maximalidad fuerza una partición binaria de la potencia en miembros y complementos. Esta maximalidad es la base de aplicaciones que requieren elegir un 'límite' o un valor de verdad genérico para cada propiedad.

Demostración

Un ultrafiltro principal en x ∈ X es {A ⊆ X : x ∈ A}. Los ultrafiltros no principales (libres) en conjuntos infinitos existen bajo el Lema del Ultrafiltro (equivalente a una forma débil del axioma de elección) y se usan para construir límites según un ultrafiltro, ultraproductos y la compactificación de Stone–Čech.

Aplicación incorrecta

Suponer que todo ultrafiltro es principal, presuponer la existencia de ultrafiltros no principales sin el principio de elección necesario, o tratar la convergencia por ultrafiltro como única en espacios que admiten múltiples límites ultrafiltrales son errores comunes.

Consecuencia

Los ultrafiltros proporcionan evaluaciones booleanas de todos los subconjuntos y aportan herramientas potentes de compacidad y extensión: por ejemplo, cada ultrafiltro en un conjunto de índices produce un ultraproducto, y la compacidad de ciertos espacios puede caracterizarse por la existencia de puntos límite para filtros y ultrafiltros.

Inversión

La visión dual intercambia pertenencia por exclusión, conduciendo a ideales maximales en el álgebra booleana de subconjuntos; los complementos de ultrafiltros son ideales primos. Invertir la maximalidad produce filtros propios no decisivos que no separan cada subconjunto de su complemento.

Límite

Los ultrafiltros se definen sobre un conjunto subyacente fijo y pueden ser principales o no principales; la existencia de ultrafiltros no principales es independiente de ZF y suele apoyarse en principios parecidos a la elección. Los ultrafiltros son objetos más potentes que los filtros generales y no son necesarios en muchos argumentos topológicos elementales.

Tensión semántica

Ultrafiltro (filtro maximal) puede confundirse con el adjetivo vulgar 'ultra' o con ideales maximales en álgebras booleanas; la tensión matemática precisa es entre ultrafiltros principales (generados por puntos) y no principales (libres), que difieren notablemente en construcción y consecuencias.

Síntesis

Un ultrafiltro es un filtro maximal y decisivo: extiende la noción de grandeza a una elección binaria para cada subconjunto, generando evaluaciones binarias, permitiendo ultraproductos y sirviendo como herramienta extremal potente en topología, teoría de modelos y argumentos de compacidad.