Une famille non vide F de sous-ensembles d'un ensemble X, fermée par intersections finies et par passage aux sur-ensembles (si A ∈ F et A ⊆ B ⊆ X alors B ∈ F). Les filtres servent à exprimer des notions de grandeur et à définir la convergence indépendamment d'indices dénombrables.

Principe

Les filtres abstraient l'idée de sous-ensembles « grands » ou « fréquents » : la stabilité par intersections finies impose que deux propriétés grandes le soient conjointement, et la stabilité par sur-ensembles impose la persistance de la grandeur lorsqu'on agrandit un ensemble.

Démonstration

Le filtre de Fréchet (cofini) sur un ensemble infini X consiste en tous les sous-ensembles cofinis de X ; il capture l'idée que « sauf un nombre fini, tous » les éléments satisfont une propriété. Le filtre de voisinage en un point p d'un espace topologique est la famille de tous les voisinages de p ; la convergence de files ou de filtres utilise ces filtres cibles.

Mauvaise application

Confondre filtres et sigma-algèbres (les filtres n'ont pas à être fermés par unions dénombrables ni par compléments) ou supposer que tout filtre n'admet pas de singletons (les filtres principaux engendrés par des singletons sont des filtres légitimes). Employer une famille qui manque de stabilité par intersections finies ou par sur-ensembles est une erreur fréquente.

Conséquence

Les filtres offrent un langage alternatif pour la convergence, les points d'accumulation et la compacité (tout filtre sur un espace compact a un point d'accumulation). Ils correspondent aussi à certains idéaux par passage aux complémentaires et donnent naissance aux ultrafiltres par extension maximale, ce qui permet des arguments puissants de compacité et d'extension.

Inversion

La notion duale est celle d'idéal : une famille de sous-ensembles fermée par unions finies et par passage aux sous-ensembles, capturant les ensembles « petits » ou négligeables plutôt que les grands. Beaucoup d'énoncés se traduisent en échangeant filtres et idéaux par complémentation.

Limite

Les filtres vivent sur l'ensemble des parties d'un ensemble sous-jacent et peuvent être principaux (engendrés par un membre) ou libres/non principaux ; l'existence d'ultrafiltres non principaux peut nécessiter l'axiome du choix. Les filtres n'encodent pas par eux-mêmes une mesure ou une cardinalité sans structure supplémentaire.

Tension sémantique

Le terme « filtre » comme dispositif général de grandeur se confronte à des notions proches comme le filtre de voisinage (ponctuel, topologique) et l'ultrafiltre (filtre maximal) — il faut préciser si l'on parle d'un filtre quelconque, d'un filtre de voisinage ou d'un cas maximal.

Synthèse

Un filtre est une famille d'ensembles qui formalise quels sous-ensembles de X sont considérés comme grands ou génériques : fermé par intersections finies pour conserver la grandeur conjointe et par sur-ensembles pour préserver la grandeur en élargissant les ensembles, soutenant ainsi une notion de convergence indépendante de la topologie.