Una familia no vacía F de subconjuntos de un conjunto X que es cerrada bajo intersecciones finitas y bajo supersets (si A ∈ F y A ⊆ B ⊆ X entonces B ∈ F). Los filtros se usan para expresar nociones de «grandeza» y para definir convergencia independiente de índices numerables.

Principio

Los filtros abstraen la idea de subconjuntos 'grandes' o 'frecuentes': el cierre bajo intersecciones finitas impone que dos propiedades grandes lo sean conjuntamente, y el cierre bajo supersets impone la persistencia de la grandeza cuando se agranda un conjunto.

Demostración

El filtro de Fréchet (cofinito) en un conjunto infinito X consiste en todos los subconjuntos cofinito de X; captura la idea de que 'salvo por finitos, todos' los elementos cumplen una propiedad. El filtro de vecindad en un punto p en un espacio topológico es la familia de todas las vecindades de p; la convergencia de redes o filtros usa estos filtros como destinos.

Aplicación incorrecta

Confundir filtros con σ-álgebras (los filtros no deben cerrarse bajo uniones contables ni complementos) o asumir que todo filtro no contiene singulares (los filtros principales generados por singulares son legítimos). Usar una familia que no cierre bajo intersecciones finitas o supersets es un error frecuente.

Consecuencia

Los filtros proporcionan un lenguaje alternativo para convergencia, puntos de acumulación y compacidad (todo filtro en un espacio compacto tiene un punto de acumulación). También se corresponden con ciertos ideales mediante complementos y conducen a ultrafiltros por extensión maximal, permitiendo argumentos potentes de compacidad y extensión.

Inversión

La noción dual es un ideal: una familia de subconjuntos cerrada por uniones finitas y por paso a subconjuntos, que captura conjuntos 'pequeños' o despreciables en lugar de grandes. Muchos enunciados se traducen intercambiando filtros e ideales por complementación.

Límite

Los filtros viven sobre la potencia de un conjunto subyacente y pueden ser principales (generados por un miembro) o libres/no principales; la existencia de ultrafiltros no principales puede requerir el axioma de elección. Los filtros no codifican por sí mismos medida o cardinalidad salvo que se añada estructura.

Tensión semántica

El término 'filtro' como dispositivo general de grandeza compite con nociones relacionadas como filtro de vecindad (por punto, topológico) y ultrafiltro (filtro maximal): hay que precisar si se habla de un filtro cualquiera, de un filtro de vecindad o de un caso maximal.

Síntesis

Un filtro es una familia de conjuntos que formaliza qué subconjuntos de X deben tratarse como grandes o genéricos: cerrada por intersecciones finitas para conservar la grandeza conjunta y por supersets para preservar la grandeza al ampliar conjuntos, sosteniendo así una noción de convergencia independiente de la topología.