Une collection S de sous‑ensembles d'un ensemble X dont les intersections finies forment une base pour une topologie sur X ; la topologie engendrée par S est l'ensemble des réunions arbitraires d'intersections finies d'éléments de S.

Principe

Engendrer une topologie en fermant d'abord S par intersections finies pour obtenir une base, puis en prenant des réunions arbitraires ; S sert de famille génératrice souvent minimale qui simplifie descriptions et démonstrations (par ex. théorème de la sous‑base d'Alexander).

Démonstration

Exemple : sur R la collection de demi‑droites (−∞,a) et (b,∞) est une sous‑base ; les intersections finies produisent des intervalles ouverts (a,b) qui forment une base et les réunions de ceux‑ci donnent la topologie usuelle.

Mauvaise application

Supposer que des unions finies d'éléments de la sous‑base suffisent à former la topologie ou omettre de prendre d'abord les intersections avant les unions ; confondre éléments de sous‑base et éléments de base et ainsi mal calculer les ouverts engendrés.

Conséquence

Les sous‑bases fournissent des générateurs flexibles pour les topologies et jouent un rôle central dans les critères de compacité (théorème de la sous‑base d'Alexander), rendant certains arguments d'existence et de compacité plus maniables que de travailler directement avec des bases.

Inversion

À partir d'une base on peut la considérer comme issue d'une sous‑base en décomposant les éléments de la base en réunions d'intersections finies ; inversement, passer d'une sous‑base à la base qu'elle engendre explicite l'étape d'intersection finie requise.

Limite

Une sous‑base n'a pas à être constituée d'ouverts a priori ; c'est un dispositif générateur — ce n'est qu'après formation de la topologie engendrée que les éléments deviennent ouverts. Les sous‑bases diffèrent des bases de voisinage et des générateurs arbitraires qui ne respectent pas la procédure intersection finie→réunion.

Tension sémantique

Tension avec la « base » : une sous‑base est plus faible et plus primitive — toute base est une sous‑base mais pas réciproquement ; avec « ensemble générateur » il y a aussi tension sur la minimalité et l'ordre des opérations intersection vs réunion.

Synthèse

Une sous‑base est une collection génératrice dont les intersections finies produisent une base et dont les réunions arbitraires produisent la topologie ; c'est un descripteur souvent minimal et pratique d'une topologie, utile dans les constructions et arguments de compacité.