Una colección S de subconjuntos de un conjunto X cuyas intersecciones finitas forman una base para una topología en X; la topología generada por S es la colección de uniones arbitrarias de intersecciones finitas de elementos de S.

Principio

Generar una topología cerrando primero S bajo intersecciones finitas para obtener una base y luego tomando uniones arbitrarias; S sirve como una familia generadora frecuentemente mínima que simplifica descripciones y pruebas (por ejemplo, el teorema de la subbase de Alexander).

Demostración

Ejemplo: en R la colección de rayos de la forma (−∞,a) y (b,∞) es una subbase; las intersecciones finitas producen intervalos abiertos (a,b) que forman una base y las uniones de éstos dan la topología usual.

Aplicación incorrecta

Suponer que uniones finitas de elementos de la subbase bastan para formar la topología o no tomar intersecciones antes de las uniones; confundir elementos de subbase con elementos de base y así calcular mal los abiertos generados.

Consecuencia

Las subbases proporcionan generadores flexibles para topologías y desempeñan un papel central en criterios de compacidad (teorema de la subbase de Alexander), haciendo que algunos argumentos de existencia y compacidad sean más manejables que trabajar directamente con bases.

Inversión

Partiendo de una base se puede ver que ésta proviene de una subbase al descomponer elementos de la base en uniones de intersecciones finitas; a la inversa, pasar de una subbase a la base generada hace explícito el paso de intersección finita requerido.

Límite

Una subbase no necesita consistir a priori en conjuntos abiertos; es un dispositivo generador — solo después de formar la topología generada los elementos pasan a ser abiertos. Las subbases se distinguen de bases de vecindad y de generadores arbitrarios que no respetan el procedimiento intersección finita→unión.

Tensión semántica

Tensión con 'base': una subbase es más débil y primitiva — toda base es una subbase pero no al revés; con 'conjunto generador' también hay tensión sobre la minimalidad y el orden de las operaciones intersección frente a unión.

Síntesis

Una subbase es una colección generadora cuyas intersecciones finitas producen una base y cuyas uniones arbitrarias generan la topología; es un descriptor compacto y a menudo minimalista de una topología que se convierte en herramienta práctica en construcciones y argumentos de compacidad.