Une place (prime) d'un corps de nombres en laquelle une variété algébrique, un schéma ou un modèle devient singulier ou dégénère après réduction modulo cette place, de sorte que la fibre spéciale n'est pas lisse et des propriétés arithmétiques fondées sur la lissité peuvent échouer.

Principe

Une variété a bonne réduction en une place si elle admet un modèle propre et lisse sur l'anneau local en cette place ; la mauvaise réduction est la négation de cette propriété, survenant lorsque la fibre spéciale est singulière, réductible ou présente d'autres dégénérescences qui modifient la structure arithmético–géométrique modulo la place.

Démonstration

Pour une courbe elliptique donnée par une équation de Weierstrass, l'annulation du discriminant Δ modulo une prime p signale une mauvaise réduction en p : la courbe réduite modulo p est singulière (noeud ou cuspide) ou dégénérée, et des invariants locaux comme le nombre de Tamagawa rendent compte de cette dégénérescence.

Mauvaise application

Supposer que la mauvaise réduction entraîne l'absence de points modulo p ou l'absence de points globaux ; la mauvaise réduction concerne la géométrie de la fibre et peut coexister avec de nombreux points locaux ou avec des points rationnels globaux — elle n'implique pas à elle seule l'inexistence arithmétique.

Conséquence

La mauvaise réduction affecte les représentations galoisiennes locales, modifie l'action de l'inertie, change les facteurs locaux des fonctions L et les nombres de Tamagawa, et complique les questions de descente, de points entiers et de problèmes de déformation ; elle exige souvent une analyse locale plus fine.

Inversion

Bonne réduction : la variété admet un modèle propre et lisse en la prime, la fibre spéciale est lisse, et de nombreux invariants arithmétiques se comportent bien et se contrôlent par la réduction modulo la prime.

Limite

Le concept s'applique aux places de l'anneau des entiers d'un corps de nombres et aux modèles entiers ; il exclut les phénomènes de la fibre générique en caractéristique zéro et requiert la précision d'un modèle choisi : différents modèles peuvent présenter des comportements de réduction distincts si l'on n'utilise pas un modèle minimal.

Tension sémantique

Tension entre mauvaise réduction comme singularité géométrique de la fibre spéciale et dégénérescence arithmétique : certaines pathologies arithmétiques (par exemple la ramification sauvage dans l'action galoisienne) se corrèlent avec une mauvaise réduction mais n'y sont pas équivalentes ; inversement, une réduction singulière n'implique pas toujours un échec arithmétique sévère.

Synthèse

La mauvaise réduction est la dégénérescence, en une place donnée, de la géométrie d'une variété lors de la réduction modulo la prime — l'échec d'un modèle entier lisse en cette prime — et elle signale la nécessité d'outils arithmétiques locaux raffinés sans pour autant exclure automatiquement l'existence de points locaux ou globaux.