Una prima (o lugar) de un cuerpo de números en la que una variedad algebraica, esquema o modelo adquiere singularidades o degenera al reducirse módulo dicha prima, de modo que la fibra especial no es lisa y las propiedades aritméticas que dependen de la lisura pueden fallar.

Principio

Una variedad tiene buena reducción en una prima si admite un modelo propio y liso sobre el anillo local en esa prima; la mala reducción es la negación, y ocurre cuando la fibra especial es singular, reducible u presenta otras degeneraciones que alteran la estructura aritmético–geométrica módulo la prima.

Demostración

Para una curva elíptica dada por una ecuación de Weierstrass, la anulación del discriminante Δ módulo una prima p indica mala reducción en p: la curva reducida módulo p es singular (nódulo o cúspide) o está degenerada, y invariantes locales como el número de Tamagawa reflejan esa degeneración.

Aplicación incorrecta

Asumir que la mala reducción implica ausencia de puntos módulo p o ausencia de puntos globales; la mala reducción trata sobre la geometría de la fibra y puede coexistir con muchos puntos locales o con puntos racionales globales — no implica por sí sola inexistencia aritmética.

Consecuencia

La mala reducción afecta representaciones galoisianas locales, altera la acción de la inercia, cambia factores locales de funciones L y números de Tamagawa, y complica problemas de descenso, puntos enteros y deformaciones; con frecuencia exige un análisis local más delicado.

Inversión

Buena reducción: la variedad tiene un modelo propio y liso en la prima, la fibra especial es lisa, y muchos invariantes aritméticos se comportan bien y son controlables mediante reducción módulo la prima.

Límite

El concepto se aplica a las primas del anillo de enteros de un cuerpo de números y a modelos enteros; excluye fenómenos de la fibra genérica en característica cero y requiere especificar un modelo elegido — distintos modelos pueden presentar comportamientos de reducción diferentes si no se utiliza un modelo minimal.

Tensión semántica

Tensión entre mala reducción como singularidad geométrica de la fibra especial y degeneración aritmética: algunas patologías aritméticas (p. ej. ramificación salvaje en la acción galoisiana) se correlacionan con mala reducción pero no son equivalentes; a la inversa, la reducción singular no implica necesariamente un fallo aritmético severo.

Síntesis

La mala reducción es la degeneración en una prima dada de la geometría de una variedad al reducir módulo esa prima — el fracaso de un modelo entero liso en esa prima — y señala la necesidad de herramientas aritmético–locales refinadas sin excluir por sí misma la existencia de puntos locales o globales.