Un phénomène en géométrie arithmétique et en théorie des nombres où une équation diophantienne ou une variété arithmétique admet une solution sur chaque complété d'un corps global (par exemple sur chaque corps p-adique et sur les complétés réels/complexes) mais ne possède aucun point rationnel sur le corps global lui‑même.

Principe

La solvabilité globale n'est pas assurée par la solvabilité locale ; des invariants arithmétiques globaux et des lois de réciprocité peuvent produire des obstructions invisibles aux vérifications au niveau des complétés.

Démonstration

Une courbe de genre un qui possède des points sur R et sur Q_p pour tout premier p, mais qui n'a aucun point rationnel sur Q ; toutes les vérifications locales réussissent tandis qu'un invariant cohomologique global empêche l'existence d'une solution rationnelle.

Mauvaise application

Supposer que vérifier l'existence de solutions dans tous les complétés d'un corps de nombres suffit à conclure à l'existence d'une solution rationnelle globale, et cesser toute analyse globale supplémentaire.

Conséquence

La détection d'une obstruction local–globale impose le recours à des outils globaux (cohomologie, descente, accouplements de réciprocité) pour expliquer l'échec du principe de Hasse et pour caractériser l'existence ou l'absence de points rationnels.

Inversion

Si une équation diophantienne possède une solution rationnelle globale alors elle possède nécessairement des solutions dans chaque complété ; l'implication réciproque peut échouer en présence d'une obstruction.

Limite

S'applique aux problèmes arithmétiques sur des corps globaux (corps de nombres, corps de fonctions de courbes sur des corps finis) ; ne concerne pas les approximations analytiques purement locales ni les problèmes sur des corps non globaux.

Tension sémantique

S'oppose au principe de Hasse et aux heuristiques local‑vers‑global : tous s'appuient sur des données locales, mais une obstruction local–globale met en évidence des invariants globaux cachés qui brisent l'heuristique.

Synthèse

L'Obstruction Local–Globale désigne la discordance entre une solvabilité au niveau des complétés et une solvabilité globale : les données locales peuvent être compatibles partout alors qu'un invariant global (souvent cohomologique) interdit une solution rationnelle globale, obligeant à employer des méthodes globales pour expliquer et traiter l'échec.