Famille de mesures arithmétiques donnant un nombre réel non négatif à des nombres algébriques ou à des points rationnels sur des variétés, quantifiant leur complexité arithmétique et leur croissance. Exemples courants : la hauteur naïve sur des coordonnées projectives, la hauteur de Weil et les hauteurs canoniques comme la hauteur de Néron–Tate sur les variétés abéliennes.

Principe

Suivre et comparer la « taille » arithmétique en agrégeant les contributions de toutes les places d'un corps de nombres, en utilisant des valuations logarithmiques ou des normes homogènes pour obtenir des fonctions de hauteur fonctorielles à une erreur bornée près.

Démonstration

Pour un point rationnel de l'espace projectif représenté par des entiers premiers entre eux (x0:...:xn), la hauteur projective naïve est log max(|x0|,...,|xn|). Sur une courbe elliptique, la hauteur canonique de Néron–Tate est une forme quadratique qui croît comme le carré de la multiplication et qui s'annule exactement sur les points de torsion.

Mauvaise application

Utiliser une hauteur définie seulement aux places archimédiennes pour borner des solutions diophantiennes globales, en ignorant les contributions p-adiques qui peuvent dominer dans certaines familles et en conduisant à des affirmations de finitude incorrectes.

Conséquence

Employées correctement, les hauteurs permettent des résultats de finitude explicites, des énoncés de compacité de type Northcott, des arguments de descente effectifs et des bornes quantitatives sur les solutions d'équations diophantiennes.

Inversion

Ignorer les hauteurs conduit à des énoncés purement qualitatifs ou locaux sur des points sans mesure de leur taille arithmétique; on ne peut alors contrôler la distribution, prouver la finitude ou comparer efficacement des familles.

Limite

Les hauteurs mesurent la complexité arithmétique, non la complexité géométrique ; elles nécessitent le choix d'un plongement ou d'un fibré en droites et sont définies à une constante O(1) près selon le modèle. Elles n'offrent pas automatiquement des bornes algorithmiques sans estimations auxiliaires.

Tension sémantique

Les hauteurs sont en tension avec les notions de taille naïve et avec les valuations locales : la taille naïve en coordonnées est plus simple mais pas intrinsèque, tandis que les valuations locales donnent une structure fine mais doivent être assemblées pour obtenir une hauteur globale.

Synthèse

Les fonctions de hauteur sont des mesures globales de taille arithmétique assemblées à partir de valuations ou de normes locales ; elles transforment des propriétés qualitatives en inégalités quantitatives qui soutiennent la finitude, la descente et le comptage.