Familia de medidas aritméticas que asignan un número real no negativo a números algebraicos o puntos racionales en variedades, cuantificando su complejidad aritmética y crecimiento. Ejemplos habituales son las alturas ingenuas en coordenadas proyectivas, la altura de Weil y las alturas canónicas como la altura de Néron–Tate en variedades abelianas.

Principio

Seguir y comparar el tamaño aritmético agregando contribuciones de todas las plazas de un cuerpo de números, usando valoraciones logarítmicas o normas homogéneas para obtener alturas que son functoriales salvo errores acotados.

Demostración

Para un punto racional en espacio proyectivo representado por enteros primos entre sí (x0:...:xn), la altura proyectiva ingenua es log max(|x0|,...,|xn|). En una curva elíptica, la altura canónica de Néron–Tate es una forma cuadrática que crece como el cuadrado de la multiplicación y se anula exactamente en los puntos de torsión.

Aplicación incorrecta

Usar una altura definida solo en las plazas archimedias para acotar soluciones diofánticas globales, ignorando contribuciones p-ádicas que pueden dominar en algunas familias y provocando afirmaciones erróneas de finitud.

Consecuencia

Cuando se emplean correctamente, las alturas permiten resultados explícitos de finitud, enunciados de compacidad tipo Northcott, argumentos efectivos de descenso y cotas cuantitativas sobre soluciones de ecuaciones diofánticas.

Inversión

Ignorar las alturas conduce a afirmaciones puramente cualitativas o locales sobre puntos sin medida de tamaño aritmético; entonces no se puede controlar la distribución, probar finitud ni comparar familias eficazmente.

Límite

Las alturas miden complejidad aritmética, no complejidad geométrica; requieren la elección de una inmersión o un fibrado lineal y están definidas a una constante O(1) según el modelo. No proporcionan automáticamente cotas algorítmicas sin estimaciones auxiliares.

Tensión semántica

Las alturas compiten con nociones de tamaño ingenuo y con valoraciones locales: la dimensión ingenua es más sencilla pero no intrínseca, mientras que las valoraciones locales dan estructura fina pero deben ensamblarse para obtener una altura global.

Síntesis

Las funciones de altura son medidas globales del tamaño aritmético ensambladas desde valoraciones o normas locales; convierten propiedades cualitativas en desigualdades cuantitativas y sustentan la finitud, el descenso y el conteo.