Formule explicite d'inversion sur le poset des diviseurs qui utilise la fonction arithmétique de Möbius μ pour retrouver une fonction arithmétique à partir de sa convolution de Dirichlet ou de ses valeurs sommatoires : si F(n)=∑_{d|n} f(d) alors f(n)=∑_{d|n} μ(d)F(n/d).

Principe

La fonction de Möbius μ est l'inverse de la fonction constante 1 pour la convolution de Dirichlet sur les entiers strictement positifs ; par conséquent, les sommes sur les diviseurs se ré-inversent en convoluant avec μ.

Démonstration

Si F(n)=∑_{d|n} f(d), on calcule f(n)=∑_{d|n} μ(d)F(n/d). Par exemple, si F compte des objets selon leurs diviseurs, la convolution avec μ restitue la fonction de comptage initiale f.

Mauvaise application

Appliquer la formule à des sommes qui ne portent pas sur le treillis des diviseurs, à des transformations sans fonction de Möbius définie, ou ignorer les conditions de convergence pour des séries infinies conduit à des inverses erronés.

Conséquence

Permet la reconstruction exacte de fonctions arithmétiques à partir de données cumulées ou convoluées, facilite l'inversion de transformées multiplicatives et sous-tend de nombreuses identités d'inclusion–exclusion en théorie des nombres.

Inversion

La transformée directe est la transformée zêta (somme sur les diviseurs) F=ζ*f ; l'inversion de Möbius en est l'inverse, et l'inversion rétablit la sommation à partir de la fonction point par point.

Limite

S'applique aux fonctions sur les entiers positifs ordonnés par la divisibilité (ou, plus généralement, sur des posets localement finis munis d'une fonction de Möbius) ; elle ne s'applique pas telle quelle aux anneaux arbitraires, aux intégrales continues ou aux posets sans élément de Möbius sans adaptation.

Tension sémantique

Souvent confondue avec d'autres notions portant le nom de Möbius (transformations de Möbius en analyse complexe ou bande de Möbius géométrique) et avec l'inclusion–exclusion générale ; la distinction essentielle est l'inversion algébrique pour la convolution de Dirichlet ou la transformée zêta du poset.

Synthèse

L'inversion de Möbius est le procédé algébrique qui annule les transformées par sommes sur les diviseurs : considérer la somme sur diviseurs comme une convolution zêta et récupérer la fonction initiale en convoluant avec μ, sous réserves des hypothèses combinatoires et de convergence.