Una fórmula de inversión explícita sobre el poset de divisores que usa la función aritmética de Möbius μ para recuperar una función aritmética a partir de su convolución de Dirichlet o de sus valores sumatorios: si F(n)=∑_{d|n} f(d) entonces f(n)=∑_{d|n} μ(d)F(n/d).

Principio

La función de Möbius μ es la inversa de la función constante 1 bajo la convolución de Dirichlet en los enteros positivos; por eso las sumas sobre divisores se invierten convolucionando con μ.

Demostración

Dado F(n)=∑_{d|n} f(d), se calcula f(n)=∑_{d|n} μ(d)F(n/d). Por ejemplo, si F cuenta objetos según sus divisores, la convolución con μ recupera la función de conteo original f.

Aplicación incorrecta

Aplicar la fórmula a sumas que no sean sobre la retícula de divisores, a transformadas sin una función de Möbius definida, o ignorar condiciones de convergencia para series infinitas produce inversas incorrectas.

Consecuencia

Permite reconstruir exactamente funciones aritméticas a partir de datos acumulados o convolucionados, facilita la inversión de transformadas multiplicativas y sustenta muchas identidades de inclusión–exclusión en teoría de números.

Inversión

La transformada directa es la transformada zeta (suma sobre divisores) F=ζ*f; la inversión de Möbius es su inversa, de modo que al invertir se recupera la función puntual original.

Límite

Se aplica a funciones sobre los enteros positivos ordenados por divisibilidad (o, en general, a posets localmente finitos con una función de Möbius); no se aplica tal cual a anillos arbitrarios, integrales continuas o posets sin elemento de Möbius sin adaptación.

Tensión semántica

A menudo se confunde con otros conceptos llamados Möbius (transformaciones de Möbius en análisis complejo o la banda de Möbius) y con la inclusión–exclusión general; la diferencia clave es la inversión algebraica bajo convolución de Dirichlet o la transformada zeta del poset.

Síntesis

La inversión de Möbius es el mecanismo algebraico que deshace las transformadas por suma sobre divisores: ver la suma sobre divisores como una convolución zeta y recuperar la función original convolucionando con μ, respetando las hipótesis combinatorias y de convergencia.