L'énoncé selon lequel, pour tout exposant entier n>2, il n'existe pas d'entiers positifs a,b,c satisfaisant a^n + b^n = c^n ; les seules solutions non triviales en entiers se produisent pour n=1 et n=2.

Principe

Une impossibilité globale pour les équations diophantiennes de degré puissance pure supérieur à deux : aucun triplet entier non nul ne réalise la somme de puissances identiques non triviale lorsque l'exposant dépasse deux.

Démonstration

Exemple concret : pour n=3 on cherche des entiers positifs tels que a^3 + b^3 = c^3 et on n'en trouve pas ; historiquement ces cas particuliers ont été étudiés jusqu'à ce qu'une preuve générale montre qu'aucun triplet n'existe pour tout entier n>2 en reliant des solutions hypothétiques à des propriétés impossibles de certaines courbes elliptiques et formes modulaires.

Mauvaise application

Affirmer que le théorème interdit des solutions réelles ou rationnelles, ou l'utiliser pour exclure les solutions pour n=2 (triples pythagoriciens). Aussi, en déduire que toute équation diophantienne de degré supérieur n'a pas de solutions entières est une mauvaise application, car de nombreuses équations de degré élevé admettent des solutions.

Conséquence

Appliqué correctement, il implique que toute recherche de solutions entières positives à a^n + b^n = c^n pour n>2 est vaine ; historiquement il a motivé des développements profonds en théorie algébrique des nombres, en modularité et en étude des courbes elliptiques et représentations de Galois.

Inversion

L'inversion est le cas n=2, où il existe une infinité de solutions entières positives (triples pythagoriciens) ; changer le domaine aux nombres rationnels admet aussi une infinité de solutions non triviales pour n>2 si l'on autorise zéro ou des variations de signe.

Limite

Portée : entiers a,b,c>0 et exposant entier n>2. Exclut zéro, les variantes de signe et les solutions dans d'autres anneaux ou corps ; les extensions et analogues (p. ex. sur les corps finis ou pour d'autres types d'exposants) sont hors de la portée de l'énoncé.

Tension sémantique

La tension provient de la distinction entre « pas de solutions entières » et des notions voisines comme « pas de solutions primitives », ou des résultats relatifs aux formes modulaires ; une signification proche concerne l'étude diophantienne d'équations de degré supérieur qui peut admettre ou non des solutions selon d'autres structures.

Synthèse

Le Dernier Théorème de Fermat est une affirmation négative précise sur les solutions entières positives des sommes de puissances pour les exposants supérieurs à deux ; sa preuve a exigé de reformuler le problème diophantien en propriétés de courbes elliptiques et de modularité, reliant ainsi un énoncé élémentaire à des outils algébriques profonds.