Si p est premier et a est un entier non divisible par p, alors a^{p-1} ≡ 1 (mod p) ; équivalemment, pour tout entier a on a a^p ≡ a (mod p).

Principe

Le groupe multiplicatif des entiers modulo un premier p a pour ordre p−1, donc l'élévation d'une unité à cet ordre donne l'élément neutre ; le théorème reflète un raisonnement ordinaire de théorie des groupes appliqué à (Z/pZ)^×.

Démonstration

Exemple : p=7 et a=2 ; 2^6 = 64 ≡ 1 (mod 7), d'où 2^7 ≡ 2 (mod 7). Cette congruence concrète illustre le théorème pour un premier et une base simples.

Mauvaise application

Utiliser a^{n-1} ≡ 1 (mod n) comme certificat de primalité sans précautions : des composés (y compris des nombres de Carmichael) peuvent satisfaire la congruence pour de nombreuses bases, la réciproque n'est donc pas valide en général.

Conséquence

Fournit la base de tests simples de primalité et de réductions en arithmétique modulaire, et sous-tend de nombreuses constructions en théorie des nombres comme l'étude des ordres et des logarithmes discrets modulo p.

Inversion

Le théorème d'Euler généralise Fermat : pour n et a tels que gcd(a,n)=1, a^{φ(n)} ≡ 1 (mod n) ; inversement, l'échec de la congruence de Fermat peut signaler la compositeness mais sa satisfaction n'assure pas la primalité.

Limite

Exige que p soit premier dans l'énoncé tel quel ; la congruence exacte a^{p-1} ≡ 1 (mod p) s'applique seulement aux unités modulo p, et les non‑unités (multiples de p) doivent être traités séparément via la forme équivalente a^p ≡ a.

Tension sémantique

Tension vis‑à‑vis des tests de primalité : le théorème donne une condition nécessaire pour la primalité mais pas suffisante, aussi les tests pratiques doivent gérer les pseudopremiers et les contre‑exemples de type Carmichael.

Synthèse

Le petit théorème de Fermat affirme que les unités modulo un premier ont un ordre divisant p−1, produisant les congruences concrètes a^{p-1} ≡ 1 (mod p) qui sont fondamentales en arithmétique modulaire, en arguments élémentaires de théorie des groupes et en heuristiques préliminaires de primalité.