Si p es primo y a es un entero no divisible por p, entonces a^{p-1} ≡ 1 (mod p); equivalente, para todo entero a se cumple a^p ≡ a (mod p).

Principio

El grupo multiplicativo de enteros módulo un primo p tiene orden p−1, por lo que elevar una unidad a la orden del grupo da la identidad; el teorema refleja argumentos elementales de teoría de grupos aplicados a (Z/pZ)^×.

Demostración

Ejemplo: p=7 y a=2; 2^6 = 64 ≡ 1 (mod 7), por tanto 2^7 ≡ 2 (mod 7). Esta congruencia concreta ilustra el teorema para un primo y una base simples.

Aplicación incorrecta

Usar a^{n-1} ≡ 1 (mod n) como certificado de primalidad sin precaución: compuestos (incluidos números de Carmichael) pueden satisfacer la congruencia para muchas bases, así que la recíproca no es válida en general.

Consecuencia

Proporciona la base para pruebas simples de primalidad y reducciones en aritmética modular, y subyace en muchas construcciones de teoría de números como el estudio de órdenes y logaritmos discretos módulo primos.

Inversión

El teorema de Euler generaliza a Fermat: para n con gcd(a,n)=1, a^{φ(n)} ≡ 1 (mod n); inversamente, la falla de la congruencia de Fermat puede indicar compositeness pero su satisfacción no garantiza primalidad.

Límite

Requiere que p sea primo en su enunciado tal cual; la congruencia exacta a^{p-1} ≡ 1 (mod p) se aplica solo a unidades módulo p, y las no unidades (múltiplos de p) se tratan por la forma equivalente a^p ≡ a.

Tensión semántica

Tensión respecto a las pruebas de primalidad: el teorema da una condición necesaria para primalidad pero no suficiente, por lo que las pruebas prácticas deben manejar pseudoprimos y contraejemplos tipo Carmichael.

Síntesis

El pequeño teorema de Fermat afirma que las unidades módulo un primo tienen orden que divide p−1, produciendo congruencias a^{p-1} ≡ 1 (mod p) que son fundamentales en aritmética modular, teoría elemental de grupos y heurísticas preliminares de primalidad.