Fonction arithmétique Λ(n) définie par Λ(n)=log p si n est une puissance p^k d'un premier p (k≥1), et Λ(n)=0 sinon ; elle sert à pondérer les puissances de premiers dans les formules explicites.

Principe

Isoler les puissances de premiers en leur assignant le logarithme du premier sous-jacent afin que les sommes de Λ codent les nombres premiers et leurs puissances dans des identités analytiques.

Démonstration

Exemples : Λ(8)=Λ(2^3)=log 2, Λ(9)=log 3, Λ(12)=0 car 12 n'est pas une puissance pure de premier. La fonction ψ(x)=Σ_{n≤x}Λ(n) est la sommation associée.

Mauvaise application

Traiter Λ(n) comme log n pour tout n (au lieu de ne l'appliquer qu'aux puissances de premiers) lui fait perdre sa sélectivité et compromet les identités extrayant l'information sur les premiers à partir des dérivées logarithmiques de fonctions ζ.

Conséquence

Λ intervient dans des formules explicites reliant le dénombrement des premiers aux zéros de fonctions de type zêta ; les sommes pondérées par Λ transmettent l'information de distribution des premiers et sont centrales en théorie analytique des nombres.

Inversion

L'inverse consisterait à attribuer un poids non nul à des composés qui ne sont pas des puissances de premiers ou à répartir les facteurs logarithmiques uniformément ; une telle inversion brouillerait le lien entre Λ et les premiers sous-jacents.

Limite

Définie sur les entiers positifs ; Λ repère strictement les puissances de premiers et vaut zéro ailleurs — elle ne mesure pas la multiplicité au-delà de log p sur p^k et n'est pas multiplicative au sens habituel.

Tension sémantique

Souvent confondue avec la fonction logarithme ou avec les fonctions indicatrices des premiers ; la tension tient au fait que Λ vaut log p sur les puissances de premiers mais zéro ailleurs, contrairement au logarithme continu ou à l'indicatrice des premiers.

Synthèse

La fonction de von Mangoldt est la pondération discrète qui place log p en chaque puissance p^k et zéro ailleurs ; elle concentre l'information primale dans des sommes et transformées reliant la sommation additive à la structure multiplicative.