Función aritmética Λ(n) definida por Λ(n)=log p si n es p^k para algún primo p y k≥1, y Λ(n)=0 en los demás casos; se usa para ponderar potencias de primos en fórmulas explícitas.

Principio

Aislar las potencias de primos asignándoles el logaritmo del primo subyacente, de modo que sumas de Λ codifiquen primos y sus potencias en identidades analíticas.

Demostración

Ejemplos: Λ(8)=Λ(2^3)=log 2, Λ(9)=log 3, Λ(12)=0 porque 12 no es una potencia pura de primo. La función ψ(x)=Σ_{n≤x}Λ(n) es su sumatoria asociada.

Aplicación incorrecta

Tratar Λ(n) como log n para todo n (en lugar de solo para potencias de primos) destruye su selectividad y arruina identidades que extraen información sobre primos de derivadas logarítmicas de funciones tipo zeta.

Consecuencia

Λ aparece en fórmulas explícitas que conectan el conteo de primos con ceros de funciones tipo zeta; sumas ponderadas por Λ transmiten información sobre la distribución de primos y son centrales en la teoría analítica de números.

Inversión

Lo inverso sería dar peso no nulo a compuestos que no sean potencias de primos o repartir los factores logarítmicos uniformemente; tal inversión difuminaría la relación entre Λ y los primos subyacentes.

Límite

Definida en enteros positivos; Λ identifica exactamente potencias de primos y es cero en los demás casos — no mide multiplicidades más allá de log p en p^k y no es multiplicativa en el sentido clásico.

Tensión semántica

A menudo se confunde con el logaritmo o con funciones indicadoras de primos; la tensión viene de que Λ vale log p en potencias de primos y cero en los demás casos, a diferencia de log continuo o indicadores de primos.

Síntesis

La función de von Mangoldt es la ponderación discreta que coloca log p en cada potencia p^k y cero en los demás enteros; concentra la información sobre primos en sumas y transformadas que conectan la suma aditiva con la estructura multiplicativa.