Fonction arithmétique φ(n) qui compte les entiers positifs ≤ n et premiers avec n ; de façon équivalente, l'ordre du groupe multiplicatif des unités modulo n.

Principe

Multiplicative et donnée sur une puissance première par φ(p^a) = p^a − p^{a−1} ; plus généralement φ(n) = n ∏_{p|n} (1 − 1/p) pour n ≥ 1. Elle reflète la manière dont les diviseurs premiers réduisent le nombre de résidus inversibles.

Démonstration

Exemple : n = 12 a la factorisation 2^2·3, donc φ(12) = 12·(1−1/2)·(1−1/3) = 12·1/2·2/3 = 4 ; les résidus inversibles modulo 12 sont {1,5,7,11}.

Mauvaise application

Employer φ pour des entrées non entières, appliquer la multiplicativité sans condition de coprimalité (par ex. supposer φ(ab)=φ(a)φ(b) quand gcd(a,b)≠1), ou confondre φ(n) avec le nombre de facteurs premiers conduit à des erreurs.

Conséquence

φ(n) détermine la structure et la taille de (Z/nZ)^×, sous-tend le théorème d'Euler a^{φ(n)} ≡ 1 (mod n) pour gcd(a,n)=1, et est central en cryptographie à clé publique et dans les arguments combinatoires et de groupe en théorie des nombres.

Inversion

La perspective complémentaire consiste à compter les résidus non premiers avec n (n − φ(n)) ou à étudier l'exposant du groupe d'unités (fonction de Carmichael λ(n)) qui mesure le plus petit exposant e tel que a^e ≡ 1 (mod n) pour toutes les unités, plutôt que l'ordre du groupe.

Limite

Définie pour les entiers positifs n (avec φ(1)=1) ; des extensions aux rationnels ou réels ne conservent pas les propriétés arithmétiques. La multiplicativité vaut uniquement pour des facteurs premiers entre eux ; les formules reposent sur la factorisation en puissances premières.

Tension sémantique

Souvent comparée à la fonction de Carmichael λ(n) (liée aux exposants plutôt qu'à l'ordre) et à des fonctions comptant des facteurs premiers ; la confusion survient quand on remplace ordre par exposant ou qu'on confond comportement local et propriétés moyennes globales.

Synthèse

La fonction totient de Euler φ(n) est la mesure arithmétique multiplicative du nombre de résidus inversibles modulo n ; calculée à partir de la factorisation en puissances premières, elle encode à la fois les obstructions locales dues aux premiers et l'information globale sur la taille du groupe utile en théorie et en calcul.