Función aritmética φ(n) que cuenta los enteros positivos ≤ n que son coprimos con n; equivalente al orden del grupo multiplicativo de unidades módulo n.

Principio

Multiplicativa y dada en potencias de primos por φ(p^a) = p^a − p^{a−1}; en general φ(n) = n ∏_{p|n} (1 − 1/p) para n ≥ 1. Refleja cómo los factores primos reducen el número de residuos invertibles.

Demostración

Ejemplo: n = 12 tiene factorización 2^2·3, por tanto φ(12) = 12·(1−1/2)·(1−1/3) = 12·1/2·2/3 = 4; los residuos invertibles módulo 12 son {1,5,7,11}.

Aplicación incorrecta

Usar φ para entradas no enteras, aplicar multiplicatividad sin la condición de coprimalidad (por ejemplo suponer φ(ab)=φ(a)φ(b) cuando gcd(a,b)≠1) o confundir φ(n) con el número de factores primos conduce a errores.

Consecuencia

φ(n) determina la estructura y el tamaño de (Z/nZ)^×, sustenta el teorema de Euler a^{φ(n)} ≡ 1 (mod n) para gcd(a,n)=1, y es central en criptografía de clave pública y en argumentos de conteo grupales en teoría de números.

Inversión

La perspectiva complementaria es contar los residuos no coprimos (n − φ(n)) o estudiar la función de Carmichael λ(n) que da el menor exponente e con a^e ≡ 1 (mod n) para todas las unidades, en lugar del orden del grupo.

Límite

Definida para enteros positivos n (con φ(1)=1); las extensiones a racionales o reales no conservan las mismas propiedades aritméticas. La multiplicatividad solo vale sobre factores coprimos; las fórmulas dependen de la factorización en potencias de primos.

Tensión semántica

Se contrasta con la función de Carmichael λ(n) (relacionada con exponentes más que con orden) y con funciones que cuentan factores primos; la confusión surge cuando se sustituye orden por exponente o se confunde comportamiento local con propiedades medias globales.

Síntesis

La totiente de Euler φ(n) es la medida aritmética multiplicativa del número de residuos invertibles módulo n; calculable desde la factorización en potencias de primos, codifica obstrucciones locales por primos y la información global de la orden del grupo, con aplicaciones teóricas y computacionales.