Une expression finie ou infinie d'un nombre réel comme une partie entière suivie d'une suite imbriquée de réciproques d'entiers, généralement notée [a0; a1, a2, ...] où les ai sont les quotients partiels.

Principe

Les fractions continues codent l'algorithme d'Euclide sur les réels et produisent les meilleures approximations rationnelles par les convergents ; la périodicité est liée aux irrationnels quadratiques.

Démonstration

Le nombre d'or φ = (1+√5)/2 a pour fraction continue simple [1;1,1,1,...] avec tous les quotients partiels égaux à 1 ; ses convergents 1, 2/1, 3/2, 5/3,... approchent φ de façon optimale.

Mauvaise application

Utiliser une troncature finie comme si elle représentait entièrement un irrationnel ou admettre des quotients partiels non entiers dans une fraction continue simple constitue un mauvais emploi de la forme standard.

Conséquence

Tronquer une fraction continue donne des convergents qui sont les meilleures approximations pour des dénominateurs bornés ; les fractions continues périodiques caractérisent les irrationnels quadratiques et résolvent des équations de type Pell.

Inversion

L'inverse est la représentation décimale ou en toute autre base ; ces développements produisent des suites de chiffres uniformes mais n'ont pas les mêmes propriétés d'approximation diophantienne optimales ni la classification périodique canonique pour les quadratiques.

Limite

S'applique aux nombres réels et peut être généralisée ; la fraction continue 'simple' exige des quotients partiels entiers, typiquement positifs (sauf éventuellement a0). Les fractions continues généralisées autorisent des quotients non entiers ou négatifs.

Tension sémantique

Il faut distinguer les fractions continues simples (réciproques emboîtées d'entiers) des fractions continues généralisées et d'autres développements comme les décimales ; les formes différentes offrent des garanties d'approximation distinctes.

Synthèse

Une fraction continue est un développement en réciproques imbriqués reflétant l'algorithme d'Euclide appliqué à un réel ; ses convergents fournissent des approximations rationnelles canoniques et sa structure révèle des propriétés arithmétiques telles que la périodicité pour les quadratiques.