Eine endliche oder unendliche Darstellung einer reellen Zahl als ganzzahliger Anteil gefolgt von einer verschachtelten Folge von Kehrwerten ganzer Zahlen, meist geschrieben als [a0; a1, a2, ...] mit den Partialquotienten ai.

Prinzip

Kettenbrüche kodieren den euklidischen Algorithmus für reelle Zahlen und erzeugen über Konvergenten die besten rationalen Approximationen; Periodizität steht in Zusammenhang mit quadratischen Irrationalitäten.

Demonstration

Die goldene Zahl φ = (1+√5)/2 hat den einfachen Kettenbruch [1;1,1,1,...] mit allen Partialquotienten gleich 1; ihre Konvergenten 1, 2/1, 3/2, 5/3,... nähern φ optimal an.

Fehlanwendung

Eine endliche Abschneidung fälschlich als vollständige Darstellung eines Irrationalen zu verwenden oder beliebige nichtganzzahlige Partialquotienten als einfachen Kettenbruch zu behandeln, missbraucht die Standardform.

Konsequenz

Das Abschneiden eines Kettenbruchs liefert Konvergenten, die die besten Approximationen mit beschränkten Nennern sind; periodische Kettenbrüche charakterisieren quadratische Irrationale und lösen Pell-ähnliche Gleichungen.

Umkehrung

Das Gegenstück sind Dezimal- oder Basisdarstellungen; diese erzeugen gleichmäßig verteilte Ziffernfolgen, besitzen aber nicht dieselben diophantischen Optimaleigenschaften und die kanonische Periodizitätsklassifikation für Quadratische.

Abgrenzung

Gilt für reelle Zahlen und lässt sich verallgemeinern; ein 'einfacher' Kettenbruch verlangt ganze, meist positive Partialquotienten (außer möglicherweise a0). Verallgemeinerte Kettenbrüche erlauben nichtganzzahlige oder negative Partialquotienten.

Semantische Spannung

Man unterscheidet einfache Kettenbrüche (verschachtelte Kehrwerte ganzer Zahlen) von allgemeineren Kettenbrüchen und anderen Darstellungen wie Dezimalentwicklungen; die Formen haben unterschiedliche Approximationseigenschaften.

Synthese

Ein Kettenbruch ist eine verschachtelte Kehrwertentwicklung, die den euklidischen Algorithmus auf eine reelle Zahl reflektiert; seine Konvergenten liefern kanonische rationale Approximationen und seine Struktur offenbart arithmetische Merkmale wie Periodizität bei Quadratischen.