Un entier r est un résidu quadratique modulo n s'il existe un entier x tel que x^2 ≡ r (mod n) ; sinon r est un non‑résidu quadratique modulo n. Les résidus s'entendent comme classes modulo n.

Principe

L'idée organisatrice est que l'opération carré définit une application sur Z/nZ dont l'image est le sous‑ensemble des résidus quadratiques ; pour un module premier p impair cette image est un sous‑groupe multiplicatif d'indice deux dans (Z/pZ)^×.

Démonstration

Modulo 7 les carrés sont {0,1,2,4} car 0^2≡0, 1^2≡1, 2^2≡4, 3^2≡2, 4^2≡2, 5^2≡4, 6^2≡1 (mod 7) ; ainsi 2 est un résidu quadratique modulo 7 tandis que 3 est un non‑résidu.

Mauvaise application

Supposer que des assertions valables pour des modules premiers demeurent inchangées pour des modules composés (où les diviseurs de zéro compliquent la situation), ou traiter les résidus comme des racines carrées numériques uniques plutôt que comme des classes de congruence.

Conséquence

Une bonne utilisation distingue les congruences quadratiques résolubles ou non x^2 ≡ a (mod n), fonde les symboles de Legendre et de Jacobi, et guide les algorithmes de calcul de racines carrées modulo des premiers ainsi que des méthodes de factorisation qui exploitent le caractère quadratique.

Inversion

Le concept inverse est le non‑résidu quadratique : une classe qui n'est pas dans l'image de l'application carré ; déplacer une classe de résidu à non‑résidu change la résolubilité des congruences quadratiques et de nombreuses assertions de réciprocité.

Limite

Défini modulo tout entier n, mais le comportement varie : pour un premier p impair il y a exactement (p+1)/2 résidus en comptant zéro ; pour un n composé la structure dépend des facteurs en puissances de premiers et peut inclure des classes avec plusieurs ou aucune racine carrée.

Tension sémantique

Tension entre l'idée concrète « un nombre est un carré » et la notion modulaire « une classe est un résidu quadratique » ; tension aussi entre la formalisation par les symboles de Legendre/Jacobi et l'existence directe de racines carrées pour des modules composés.

Synthèse

Un résidu quadratique modulo n est une classe de congruence obtenue comme carré ; ce concept d'image du carré encode la résolubilité des congruences quadratiques, sous-tend la réciprocité quadratique et distingue les classes par leur caractère quadratique.