Ensemble complet de représentants modulo n composé exclusivement d'entiers premiers avec n ; autrement dit un ensemble R ⊂ {0,…,n-1} de cardinal φ(n) tel que tout entier premier avec n est congru à exactement un élément de R modulo n.

Principe

L'idée organisatrice est de choisir un représentant pour chaque classe résiduelle inversible modulo n afin que la multiplication (et l'inversion) ait un sens au sein des représentants et reflète le groupe multiplicatif (Z/nZ)^×.

Démonstration

Pour n = 8 un système de résidus réduit est {1, 3, 5, 7} car ce sont les entiers dans {0,…,7} premiers avec 8 ; φ(8) = 4 et ces classes forment le groupe multiplicatif modulo 8.

Mauvaise application

Inclure des entiers non premiers avec n parmi les représentants, ou supposer qu'un certain ordre des représentants a une signification algébrique ; confondre un système de résidus réduit avec un système complet qui inclurait des classes non premières avec n.

Conséquence

Bien identifié, il fournit un modèle fini des éléments inversibles modulo n, permettant l'inversion, le calcul d'ordres, le théorème d'Euler et l'analyse du groupe restreint (Z/nZ)^×.

Inversion

Le concept inverse est un système complet de représentants modulo n (représentants de toutes les classes) ou l'étude des non-unités, qui ne possèdent pas l'inversibilité multiplicative sur tous leurs représentants.

Limite

Défini pour un modulo n≥1 ; cas triviaux lorsque φ(n)=1 (par ex. n=1,2). Le système ne concerne que les entiers premiers avec n et exclut les diviseurs de zéro et les classes représentées par des nombres ayant des facteurs communs avec n.

Tension sémantique

Tension entre le choix de représentants canoniques minimaux (par ex. restes positifs les plus petits) et d'autres représentants commodes ; tension aussi entre la vue algébrique (groupe des unités) et la liste combinatoire des entiers.

Synthèse

Un système de résidus réduit modulo n rassemble un représentant par classe inversible, produisant un ensemble fini concret qui modélise le groupe multiplicatif (Z/nZ)^× et permet l'inversion et le raisonnement multiplicatif modulo n.