Ein vollständiges System von Repräsentanten modulo n, das ausschließlich aus zu n teilerfremden ganzen Zahlen besteht; äquivalent ist R ⊂ {0,…,n-1} mit |R| = φ(n), sodass jede zu n teilerfremde ganze Zahl modulo n genau einer Zahl in R entspricht.

Prinzip

Die ordnende Idee ist, je eine Repräsentantin aus jeder invertierbaren Restklasse modulo n zu wählen, so dass Multiplikation (und Inversion) innerhalb der Repräsentanten sinnvoll ist und die multiplikative Gruppe (Z/nZ)^× widerspiegelt.

Demonstration

Für n = 8 ist ein reduziertes Restklassensystem {1, 3, 5, 7}, denn dies sind die Zahlen in {0,…,7}, die zu 8 teilerfremd sind; φ(8) = 4 und diese Klassen bilden die multiplikative Gruppe modulo 8.

Fehlanwendung

Zahlen, die nicht zu n teilerfremd sind, in das Repräsentantensystem aufzunehmen oder anzunehmen, eine bestimmte Reihenfolge der Repräsentanten hätte algebraische Bedeutung; auch das Verwechseln mit einem vollständigen Repräsentantensystem, das Nicht-Teilerfremde einschließt.

Konsequenz

Bei korrekter Bestimmung erhält man ein endliches Modell der invertierbaren Einheiten modulo n, das Inversion, Ordnungberechnungen, Eulers Satz und gruppentheoretische Analysen in (Z/nZ)^× ermöglicht.

Umkehrung

Das Gegenstück ist ein vollständiges Restklassensystem modulo n (Repräsentanten aller Klassen) oder die Betrachtung der Nicht-Einheiten, die nicht über alle Repräsentanten invertierbar sind.

Abgrenzung

Definiert für Modul n≥1; triviale Fälle treten auf, wenn φ(n)=1 (z. B. n=1,2). Das System betrifft nur zu n teilerfremde Zahlen und schließt Nullteiler und Klassen mit gemeinsamen Faktoren mit n aus.

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen der Wahl kanonischer minimaler Repräsentanten (z. B. kleinste positive Reste) und anderen praktischen Repräsentanten; sowie zwischen der algebraischen Sicht (Einheitengruppe) und der kombinatorischen Aufzählung.

Synthese

Ein reduziertes Restklassensystem modulo n fasst je eine Repräsentante jeder invertierbaren Klasse zusammen und liefert so eine konkrete endliche Menge, die die multiplikative Einheitengruppe (Z/nZ)^× modelliert und Inversion sowie multiplikatives Rechnen modulo n erlaubt.