Suite de nombres (a_n) de la forme a, a + d, a + 2d, … où a est le terme initial fixe et d la différence commune fixe ; de façon équivalente a_n = a + (n-1)d pour n≥1.

Principe

La règle organisatrice est la translation linéaire par un incrément constant : chaque terme suivant s'obtient en ajoutant le même incrément d au terme précédent.

Démonstration

Exemple : pour a = 3 et d = 4 la progression est 3, 7, 11, 15, … ; le n-ième terme vaut a_n = 3 + (n-1)·4 et la somme des n premiers termes est S_n = n(2·3 + (n-1)·4)/2.

Mauvaise application

Prendre une progression géométrique (rapport multiplicatif constant) ou toute suite à différences variables pour une progression arithmétique ; ou supposer des propriétés arithmétiques valables seulement pour d entier lorsque d n'est pas entier.

Conséquence

Une progression arithmétique permet des formules explicites pour le n-ième terme, des formules de sommation simples et des relations linéaires entre termes ; des propriétés élémentaires de divisibilité et de moyenne en découlent directement.

Inversion

Le motif inversé est une progression géométrique où les termes successifs sont multipliés par un rapport constant, ou toute suite dont les différences successives ne sont pas constantes.

Limite

S'applique aux suites indexées par des entiers avec un addend fixe d ; d peut valoir zéro ou appartenir à l'anneau ambiant (entiers, rationnels, réels). Sont exclus les suites définies par des différences non constantes, des récurrences non additives ou des incréments dépendant de l'indice.

Tension sémantique

On confond souvent progression arithmétique (suite) et série arithmétique (somme), ou on confond un motif linéaire approché avec une progression arithmétique exacte.

Synthèse

La progression arithmétique est la structure discrète linéaire élémentaire : une translatée du sous-groupe additif engendré par d, fournissant des formules explicites pour termes et sommes et constituant le modèle primaire de croissance linéaire discrète.