Eine Zahlenfolge (a_n) der Form a, a + d, a + 2d, … wobei a ein festes Anfangsglied und d die konstante Differenz ist; äquivalent a_n = a + (n-1)d für n≥1.

Prinzip

Das ordnende Prinzip ist die lineare Verschiebung um eine konstante Differenz: jedes nachfolgende Glied entsteht durch Addition derselben Zahl d zum vorherigen Glied.

Demonstration

Beispiel: mit a = 3 und d = 4 ergibt sich 3, 7, 11, 15, …; das n-te Glied ist a_n = 3 + (n-1)·4 und die Summe der ersten n Glieder ist S_n = n(2·3 + (n-1)·4)/2.

Fehlanwendung

Eine geometrische Folge (konstanter Multiplikationsfaktor) oder eine Folge mit variabler Differenz fälschlich als arithmetische Progression zu bezeichnen; oder integrale Eigenschaften anzunehmen, wenn d nicht ganzzahlig ist.

Konsequenz

Richtig erkannt liefern arithmetische Progressionen geschlossene Formeln für das n-te Glied, einfache Summenformeln und lineare Beziehungen zwischen Gliedern; viele elementare Teilbarkeits- und Mittelwertsrelationen folgen unmittelbar.

Umkehrung

Das Gegenstück ist eine geometrische Progression mit konstantem Quotienten, bzw. jede Folge, deren aufeinanderfolgende Differenzen nicht konstant sind.

Abgrenzung

Gilt für Folgen mit ganzzahliger Indizierung und festem Addend d; d kann null oder Element des umgebenden Rings (Z, Q, R) sein. Ausgeschlossen sind Folgen mit nichtkonstanten Differenzen, nichtadditiven Rekursionsvorschriften oder indexabhängigen Schritten.

Semantische Spannung

Verwechslungen treten häufig zwischen arithmetischer Progression (Folge) und arithmetischer Reihe (Summe) auf, oder zwischen angenommener linearer Näherung und exakter arithmetischer Folge.

Synthese

Eine arithmetische Progression ist die einfachste diskrete lineare Struktur: eine Translation der additiven Untergruppe, die explizite Formeln für Glieder und Summen liefert und das grundlegende Modell diskreter linearer Zunahme darstellt.