Une transformation du plan qui envoie chaque point P (différent du centre O) sur le même rayon OP en un point P' tel que OP·OP' = r^2 pour un rayon fixe r ; elle envoie cercles et droites sur des cercles ou des droites et simplifie souvent des problèmes de géométrie plane.

Principe

L’inversion est une application conforme involutive du plan privé du centre par rapport à un cercle choisi : elle préserve les angles (avec orientation) et échange intérieur et extérieur par rapport au cercle de référence tout en transformant les cercles généralisés selon qu’ils passent ou non par le centre.

Démonstration

Avec centre O et rayon r, l’inverse de P est P' sur la droite OP vérifiant OP' = r^2/OP ; une droite ne passant pas par O se transforme en cercle passant par O, un cercle ne passant pas par O en un autre cercle ne passant pas par O, et les cercles passant par O deviennent des droites.

Mauvaise application

Appliquer l’inversion sans suivre l’orientation ou sans traiter correctement le centre et le point à l’infini (par exemple supposer que toute droite devient une droite) conduit à des descriptions de lieux erronées ou à l’omission d’images singulières.

Conséquence

Bien utilisée, l’inversion transforme des problèmes de lieu et de tangence difficiles en problèmes plus simples (par exemple convertir des familles de cercles d’Apollonius en droites), transforme conditions d’angle et de tangence en contraintes algébriques et peut linéariser certaines constructions.

Inversion

L’opération inverse de l’inversion est l’inversion elle‑même avec le même centre et rayon ; inverser la transformation montre son involutivité et souligne que les points fixes se trouvent sur le cercle de référence et que le centre est exclu du domaine.

Limite

Définie sur le plan euclidien privé du centre d’inversion (et étendue en ajoutant le point à l’infini) ; elle présuppose la distance euclidienne et ne se prolonge pas telle quelle aux espaces métriques non conformes ou aux géométries non euclidiennes de dimension supérieure sans modifications.

Tension sémantique

L’inversion est parfois confondue avec d’autres transformations de Möbius ; contrairement aux applications de Möbius générales dans le plan complexe, l’inversion de cercle fixe la relation métrique OP·OP' = r^2 et est spécifiquement centrée et conforme mais pas une transformation projective arbitraire.

Synthèse

L’inversion géométrique est une transformation conforme involutive autour d’un cercle qui échange droites et cercles selon qu’elles passent par le centre et transforme de nombreuses constructions planes en problèmes géométriques ou algébriques plus simples en tirant parti de la préservation des angles et de la relation réciproque des distances.