Una transformación planar que envía cada punto P (distinto del centro O) a un punto P' sobre el rayo OP tal que OP·OP' = r^2 para un radio fijo r; envía círculos y rectas a círculos o rectas de formas que simplifican muchos problemas de geometría plana.

Principio

La inversión es un mapa conforme involutivo del plano puncturado alrededor de un centro y radio elegidos: preserva ángulos (con orientación) y intercambia interior/exterior respecto al círculo de referencia, convirtiendo círculos generalizados según si pasan o no por el centro.

Demostración

Con centro O y radio r, el inverso de un punto P es P' en la recta OP con OP' = r^2/OP; una recta que no contiene a O se transforma en un círculo que pasa por O, un círculo que no contiene a O se transforma en otro círculo que no lo contiene, y los círculos que pasan por O se transforman en rectas.

Aplicación incorrecta

Aplicar la inversión sin seguir la orientación o sin tratar correctamente el centro y el punto en el infinito (por ejemplo asumir que toda recta se mapea en una recta) puede producir descripciones de lugares incorrectas o pasar por alto imágenes singulares.

Consecuencia

Bien aplicada, la inversión transforma problemas de locus y tangencia difíciles en otros más simples (p. ej. convertir familias de círculos de Apolonio en rectas), convierte condiciones de ángulo y tangencia en restricciones algebraicas y puede linearizar algunas construcciones.

Inversión

La operación inversa de la inversión es la propia inversión con el mismo centro y radio; invertir la transformación muestra su involutividad y señala que los puntos fijos yacen en el círculo de referencia y que el centro queda excluido del dominio.

Límite

Se define en el plano euclídeo menos el centro de inversión (y puede extenderse añadiendo el punto en el infinito); supone distancia euclídea y no se extiende tal cual a espacios métricos no conformes ni a geometrías no euclídeas de dimensión superior sin modificaciones.

Tensión semántica

La inversión suele confundirse con otras transformaciones de Möbius; a diferencia de las aplicaciones Möbius generales en el plano complejo, la inversión de círculo fija la relación métrica OP·OP' = r^2 y es específicamente centrada y conforme pero no una transformación proyectiva arbitraria.

Síntesis

La inversión geométrica es una transformación conforme e involutiva alrededor de un círculo que intercambia rectas y círculos según si pasan por el centro y convierte muchas construcciones planas en problemas geométricos o algebraicos más simples aprovechando la preservación de ángulos y la relación recíproca de distancias.