Un résultat fondamental de la géométrie euclidienne : les mesures des trois angles intérieurs de tout triangle euclidien totalisent un angle plat (180 degrés, ou π radians).

Principe

Correspondance des angles par parallélisme : en traçant une droite par un sommet du triangle parallèle au côté opposé, les angles correspondants et alternes montrent que les trois angles intérieurs valent ensemble un angle plat ; cela repose sur le postulat des parallèles d'Euclide (ou un axiome équivalent).

Démonstration

Pour le triangle ABC, tracer par A une droite parallèle à BC. Les angles alternes formés avec AB et AC sont égaux à ∠B et ∠C respectivement ; avec ∠A ils forment un angle plat en A, prouvant ∠A+∠B+∠C = 180°.

Mauvaise application

Étendre le théorème sans ajustement à des géométries non euclidiennes (sur la sphère la somme d'angles dépasse 180°, en hyperbolique elle est inférieure) ou négliger les angles orientés ou les triangles dégénérés (sommets collinéaires) conduit à des usages incorrects.

Conséquence

Permet des calculs d'angles, des relations intérieur–extérieur (un angle extérieur égale la somme des angles intérieurs opposés) et soutient de nombreuses preuves triangulaires et identités trigonométriques en géométrie euclidienne.

Inversion

Dans les géométries non euclidiennes la relation s'inverse quantitativement : les triangles sphériques ont une somme d'angles supérieure à 180°, proportionnelle à leur aire, les triangles hyperboliques inférieure à 180° ; changer l'hypothèse des parallèles modifie donc la contrainte de somme.

Limite

Valable dans les plans euclidiens ; exclu dans les géométries où le postulat des parallèles ne tient pas ou lorsque la mesure d'angle n'est pas la mesure euclidienne usuelle. Les triangles dégénérés (points collinéaires) sortent de l'interprétation standard d'angles intérieurs.

Tension sémantique

Il est parfois confondu avec un simple comptage informel d'« angles » dans des polygones ou avec des relations topologiques de type Euler ; la tension est entre assertions métriques sur la somme des angles et comptages purement combinatoires ou topologiques d'éléments angulaires.

Synthèse

Le théorème de la somme des angles du triangle énonce que, en géométrie euclidienne, les angles intérieurs d'un triangle s'additionnent pour donner un angle plat (180°), résultat déduit des relations d'angles par parallélisme et dépendant du cadre du postulat des parallèles.