Un resultado fundamental de la geometría euclidiana: las medidas de los tres ángulos interiores de cualquier triángulo euclidiano suman un ángulo llano (180 grados o π radianes).

Principio

Correspondencia de ángulos por paralelas: trazando por un vértice una recta paralela al lado opuesto, los ángulos correspondientes y alternos muestran que los tres ángulos interiores suman un ángulo llano; esto se apoya en el postulado de las paralelas de Euclides (o en un axioma equivalente).

Demostración

Dado el triángulo ABC, trazar por A una recta paralela a BC. Los ángulos alternos formados con AB y AC son iguales a ∠B y ∠C respectivamente y, junto con ∠A, constituyen un ángulo llano en A, probando que ∠A+∠B+∠C = 180°.

Aplicación incorrecta

Extender el teorema sin ajuste a geometrías no euclidianas (en la esfera la suma de ángulos excede 180°, en la geometría hiperbólica es menor) o no tener en cuenta ángulos dirigidos o triángulos degenerados (vértices colineales) conduce a usos indebidos.

Consecuencia

Facilita cálculos de ángulos, relaciones interior–exterior (un ángulo exterior equivale a la suma de los ángulos interiores remotos) y sostiene muchas pruebas y identidades trigonométricas basadas en triángulos en geometría euclidiana.

Inversión

En geometrías no euclidianas la relación se invierte cuantitativamente: los triángulos esféricos tienen suma de ángulos mayor que 180°, proporcional a su área; los hiperbólicos menor que 180°; cambiar la suposición sobre paralelas altera la constante de la suma.

Límite

Válido en planos euclidianos; no se aplica en geometrías donde falla el postulado de paralelas o cuando la medida angular no es la euclidiana habitual. Los triángulos degenerados (puntos colineales) quedan fuera de la interpretación habitual de ángulos interiores.

Tensión semántica

A veces se confunde con un simple conteo de 'ángulos' en polígonos o con relaciones topológicas tipo Euler; la tensión es entre afirmaciones métricas sobre la suma de ángulos y conteos puramente combinatorios o topológicos.

Síntesis

El teorema de la suma de ángulos del triángulo afirma que, en geometría euclidiana, los ángulos interiores de un triángulo suman un ángulo llano (180°), hecho derivado de relaciones de ángulos por paralelas y dependiente del marco del postulado de las paralelas.