Une relation pour tout triangle euclidien non dégénéré qui égalise chaque longueur de côté à deux fois le rayon du cercle circonscrit multiplié par le sinus de l'angle opposé ; on l'écrit classiquement a/sin A = b/sin B = c/sin C (égal à 2R).

Principe

Les longueurs des côtés et leurs angles opposés sont proportionnels par la fonction sinus, transformant une mesure angulaire en proportion linéaire via le cercle circonscrit du triangle.

Démonstration

Dans le triangle ABC de côtés a=BC, b=CA, c=AB et de rayon circonscrit R, calculer sin A, sin B, sin C et vérifier que a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R. Par exemple, un triangle non rectangle aux angles 50°, 60°, 70° fournit des rapports égaux dans la précision numérique attendue.

Mauvaise application

Employer la loi sans tenir compte du cas ambigu côté‑côté‑angle (SSA) lors de la recherche d'un angle (deux triangles distincts peuvent satisfaire les données), ou appliquer la formule à un triplet de points colinéaires où le rayon circonscrit est infini.

Conséquence

Avec deux angles et un côté (ou deux côtés et un angle non inclus), la loi permet de déterminer les côtés ou angles manquants et le rayon circonscrit ; elle facilite les calculs dans les triangles obliques et relie la trigonométrie à la géométrie du cercle.

Inversion

Plutôt que de relier les côtés aux sinus des angles opposés, on peut utiliser le théorème des cosinus qui relie les carrés des longueurs aux cosinus d'un angle inclus ; la loi des sinus met l'accent sur la proportionnalité et l'ambiguïté (SSA), le cosinus donne une relation algébrique non ambiguë.

Limite

Valable pour les triangles euclidiens non dégénérés ; les rapports doivent être calculés avec des sinus signés si les angles dépassent les conventions, et la formule n'est pas directement valable sur les triangles sphériques ou hyperboliques sans leurs lois trigonométriques adaptées.

Tension sémantique

Tension entre la loi des sinus et celle des cosinus quant au choix de la méthode de résolution : la première favorise la proportionnalité et peut engendrer des solutions multiples, la seconde assure l'unicité par un calcul algébrique plus direct.

Synthèse

La loi des sinus établit l'identité de proportionnalité qui relie chaque côté d'un triangle euclidien au sinus de l'angle opposé et au rayon circonscrit, utile pour résoudre les triangles obliques en prenant garde aux cas SSA.