Le rayon du plus grand cercle (en plan) ou de la plus grande sphère (dans l'espace) pouvant être inscrit(e) dans un polygone ou un polyèdre de sorte qu'il/elle soit tangent(e) à chaque côté (arête) ou face ; pour un triangle, c'est le rayon du cercle inscrit.

Principe

Le rayon inscrit mesure la distance uniforme maximale d'un centre intérieur à toutes les droites ou faces frontières ; dans les polygones tangents il relie des grandeurs linéaires (longueurs des côtés, semi‑périmètre) à l'aire.

Démonstration

Pour un triangle de côtés a, b, c et d'aire Δ, le rayon inscrit r vaut Δ divisé par le semi‑périmètre s = (a+b+c)/2, donc r = Δ/s. Exemple : le triangle rectangle 3–4–5 a aire 6 et semi‑périmètre 6, donc r = 1.

Mauvaise application

Prendre la distance d'un point intérieur quelconque aux côtés pour le rayon inscrit, ou supposer que tout polygone possède un rayon inscrit tangent à tous ses côtés (les polygones non tangents n'en ont pas).

Conséquence

Quand un rayon inscrit existe, il donne des formules d'aire directes, permet la construction du cercle inscrit et du triangle des contacts, et fournit des paramètres pour des problèmes d'optimisation (inscription maximale, empaquetage).

Inversion

Le rayon circonscrit est la notion inverse : rayon du cercle passant par tous les sommets, plutôt que tangent à tous les côtés ; les exrayons sont des tangentes externes associées dans les triangles.

Limite

S'applique seulement aux figures admettant un cercle/sphère inscrit(e) tangent(e) à chaque côté/face (polygones tangents, solides convexes avec sphère inscrite). Ne s'applique pas aux polygones non tangents, aux frontières fractales ni aux métriques non euclidiennes sans précision.

Tension sémantique

Il peut être confondu avec l'apothème (dans les polygones réguliers l'apothème = rayon inscrit) ou avec la « distance au côté le plus proche » ; contrairement à cette dernière, le rayon inscrit exige un centre unique équidistant à tous les côtés.

Synthèse

Le rayon inscrit est la distance canonique unique d'un centre intérieur spécial à chaque côté ou face lorsque la figure admet un cercle ou une sphère inscrite ; il fait le lien entre données linéaires et aire/volume et distingue les figures tangentes de celles sans insphère.